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Zur Differentialgeometrie der analytischen Kurven. (German) JFM 40.0658.04
Mit dieser Abhandlung beginnt eine Reihe von wichtigen Arbeiten des Verf., in denen er seiner bekannten schonungslosen Kritik der in der Geometrie üblichen Forschungsweise eine positive Wendung gibt und zunächst in der Differentialgeometrie Beispiele einer exakten, nach allen Richtungen hin erschöpfenden Untersuchung scharf formulierter Probleme gibt. Das Ziel dieser ersten einleitenden Abhandlung ist, für die analytischen krummen Linien, die als geometrische Örter von je \(\infty^2\) komplexen Punkten aufgefaßt werden, eine natürliche Klassifikation zu geben, sie in allen Fällen durch natürliche Gleichungen darzustellen und die Bedingungen für die Äquivalenz zweier solcher Kurven gegenüber (komplexen) Euklidischen Bewegungen zu entwickeln.
Für die Punkte algebraischen Charakters einer analytischen Kurve existiert immer eine Parameterdarstellung der kartesischen Koordinaten \(x_1,x_2,x_3\) derart, daß mindestens einer der Differentialquotienten \(x_i^\prime\) nicht verschwindet. Dann existieren ferner rationale Invarianten, von denen jede durch ihr identisches Verschwinden eine gegenüber den Bewegungen des Raumes invariante Kurvenfamilie definiert. Die Durchführung dieser Überlegungen führt dann auf die folgende Einteilung der Kurven in invariante Familien, deren einer eine jede Kurve unzweideutig zugeteilt ist: \[ \text{Reguläre Kurven}\;(x'x')(x''x'')-(x'x'')^p\not\equiv 0. \] I. Unebene reguläre Kurven \(| x'x''x'''|\not\equiv 0.\)
II. Ebene reguläre Kurven (krumme Linien in Euklidischen Ebenen) \(| x'x''x'''|\equiv 0\). \[ \text{Singuläre Kurven}\;(x'x')(x''x'')-(x'x'')^2\equiv 0. \] III. Krumme Linien in Minimalebenen \(| x'x''x'''|\equiv 0, (x'x'')\not\equiv 0, (x'x''\omega)\not\equiv 0\). \[ \begin{aligned} IV.\;&\text{Krumme Minimallinien}\;| x' x" x"'|\not\equiv 0, (x',x')\equiv 0.\\ V.\;&\text{Euklidische Gerade}\;| x'x''\omega|\equiv 0,\;(x'x')\not\equiv 0.\\ VI.\;&\text{Minimalgeraden}\;| x'x''\omega| \equiv 0, (x'x')\equiv 0.\end{aligned} \] Für alle Kurven mit Ausnahme der Minimalgeraden kann man einen natürlichen Parameter einführen, d. h. eine Integralinvariante, die als Funktion ihrer oberen Grenze nicht konstant und (wie für I und II der Bogen) bis auf das Vorzeichen und eine additive Konstante bestimmt ist. Das Äquivalenzproblem wird so weit gefördert, daß jedesmal ein System charakteristischer Invarianten aufgestellt wird, deren Gleichheit für zwei Kurven ihre Kongruenz zur Folge hat. Zum Schluß werden noch einige Beispiele von natürlichen Kurvenfamilien durch ihre bestimmenden Differentialgleichungen charakterisiert (Kurven konstanter Torsion, konstanter Krümmung, Kurven vorgeschriebener konstalter Krümmung, sphärische Kurven, Kreise).

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