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Die reduzierten Differentialgleichungen der Bewegung des schweren unsymmetrischen Kreisels. (German) JFM 40.0791.02

Die Abhandlung enthält eine ausführliche Begründung und erweiterte Darstellung der Resultate, die der Verf. in Gött. Nachr. 1908, 272-274 gegeben hatte (F. d. M. 39, 779, 1908, JFM 39.0779.01). Wir verweisen wegen der Bezeichnungen auf das vorjährige Referat und beschränken uns auf die Angabe der Abschnitte der Arbeit unter Wiedergabe der vom Verf. selbst hervorgehobenen und bezifferten Sätze.
§ 1. Aufstellung der reduzierten Differentialgleichungen der Bewegung. § 2. Kriterien für die Äquivalenz der Euler-Poissonschen und der Heß-Schiffschen Gleichungen. Satz I. Aus den Heß-Schiffschen Gleichungen folgen umgekehrt die Eulerschen Gleichungen, außer wenn \(S\) einen konstanten Wert hat. Satz 2. Ist weder \(S\), noch \(U\) konstant, so lassen sich aus den Heß-Schiffschen Gleichungen die Euler-Poissonschen Gleichungen herleiten. § 3. Die permanenten Drehungen. § 4. Die Hauptinvariante \(U\) hat einen konstanten Wert. Satz 3. In dem Ausnahmefalle \(U =U_0\) (konstant) sind die Eulerschen Gleichungen eine Folge der HeßSchiffschen Gleichungen. Damit aber auch die Poissonschen Gleichungen erfüllt sind, muß zu den Heß-Schiffschen Gleichungen noch die Ergänzungsgleichung (24) hinzugenommen werden; diese Gleichung dient als Ersatz für die Gleichung (IIb), die für \(U=U_0\) in eine Identität übergeht. Satz 4. Wird der Hauptinvariante \(U\) ein konstanter Wert beigelegt, so haben bei allgemeinen Werten der Massenparameter auch die Hauptinvarianten \(S\) und \(T\) konstante Werte; daher vertragen sich beim allgemeinen unsymmetrischen Kreisel mit der Annahme \(U = U_0\) nur die permanenten Drehungen. § 5. Die reduzierten Differentialgleichungen bei konstantem Werte von \(S\). Satz 5. Wird der Hauptinvariante \(S\) ein konstanter Wert \(S_0\) beigelegt, so sind zwei wesentlich verschiedene Möglichkeiten zu unterscheiden, je nachdem die “Ebene” \(S=S_0\) mit dem Staudeschen Kegel eine Schnittkurve gemein hat oder einen Bestandteil des Kegels bildet. In dem ersten Fall wird die zweite reduzierte Differentialgleichung vermöge der ersten identisch erfüllt. Dagegen behält die zweite reduzierte Differentialgleichung in dem zweiten Fall, der auf den Heßschen Fall zurückkommt, ihre selbständige Bedeutung. § 6. Die Euler-Poissonschen Differentialgleichungen bei konstantem Werte von \(S\). Satz 5. Wird der Hauptinvariante \(S\) ein konstanter Wert \(S_0\) beigelegt, so haben bei allgemeinen Werten der Massenparameter auch die Hauptinvarianten \(T\) und \(U\) konstante Werte; daher vertragen sich beim allgemeinen unsymmetrischen Kreisel mit der Annahme \(S =S_0\) nur die permanenten Drehungen. § 7. Die Hauptinvariante \(S\) hat dauernd den Wert Null. Satz 7. Wird der Hauptinvariante \(S\) der konstante Wert Null beigelegt, so gibt es, von dem Grenzfall der Ruhe abgesehen, nur drei mögliche Bewegungsformen: permanente Drehungen, permanente Pendelungen und den Heßschen Fall. § 8. Die Bewegungen des unsymmetrischen Kreisels, bei denen der Drehvektor im Körper fest bleibt. Erster Teil: Die Fälle von Staude und Mlodzjejowskij. Satz 8. Liegt bei einem schweren Kreisel der Schwerpunkt in einer der Hauptebenen, so genügt man den Euler-Poissonschen Gleichungen, wenn man den Kreisel um die horizontal gelegte Normale dieser Hauptebene nach Art eines physikalischen Pendels schwingen läßt. § 9. Zweiter Teil: Die permanenten Pendelungen. Satz 9. Hat ein schwerer Kreisel die Eigenschaft, daß er um eine im Körper feste Achse Drehungen mit veränderlicher Winkelgeschwindigkeit ausführen kann, so ist er notwendig planar, und die Drehachse besteht in der horizontal gelegten Normale zu der Hauptebene, in der der Schwerpunkt liegt. § 10. Vollständige Diskussion des Falles, daß die Hauptinvariante \(S\) dauernd den Wert Null hat.

Citations:

JFM 39.0779.01
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References:

[1] Vgl. den Artikel IV6: Elementare Dynamik der Punktsysteme und starren Körper in der Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften, besonders Nr. 36, S. 639-646; dort findet man auch die Erklärung der hier gebrauchten Bezeichnungen.
[2] Wahrscheinlich hat Lagrange diese Gleichungen schon besessen, ehe sie Poisson,Mécanique, 1o, éd., t. II, Paris 1811, p. 135, veröffentlichte; bei Lagrange stehen sie jedoch erst in derzweiten Auflage derMécanique analytique, t. II, Paris 1815, S. 197 der Ausgabe von Bertrand.
[3] Vgl. meine Note:Ausgezeichnete Bewegungen des schweren unsymmetrischen Kreisels, diese Annalen Band 65 (1908), S. 538-555, die ich im folgenden mit (A) zitieren werde.
[4] Über das Problem der Rotation, diese Annalen Band 20 (1882), S. 461-470;Über die Eulerschen Bewegungsgleichungen and ihre singulären Lösungen, Programm des Lyceums zu Bamberg, 1889, 60 Seiten (die angekündigte Fortsetzung ist nicht erschienen);Über die Eulerschen Bewegungsgleichungen und über eine neue partikuläre Lösung des Problems der Bewegung eines starren Körpers um, einen festen Punkt, diese Annalen Band 37 (1890), S. 153-181.
[5] Über die Differentialgleichungen der Bewegung eines schweren starren Körpers um einen festen Punkt, Mathematische Sammlung Band 24, Moskau 1903, S. 169-177 (russisch); in meiner Note Math. Ann. Bd. 65 habe ich die Methode von Schiff auf Grund seiner kurzen Angaben, die der Ergänzung und zum Teil der Berichtigung bedürfen, ausführlich dargestellt. Für die Priorität von Heß vgl. meinen VortragAusgezeichnete Kreiselbewegungen auf der Naturforscher-Versammlung zu Cöln, 22. Sept. 1908, der inzwischen in dem Jahresbericht der D. M.-V. erschienen ist.
[6] In der Abhandlung:Sur quelques systèmes particuliers d’équations différentielles, Journal f. Math., Band 80 (1875), S. 33-51 hatte E. de Combescure gezeigt, wie man ein System vonn Gleichungen auflösen könne, bei dem die Summe der Quadrate dern Unbekannten gleich Eins ist, während die übrigen Gleichungen linear sind.
[7] Eine dritte, sehr durchsichtige Herleitung hat R. Marcolongo gegeben, indern er sich der Vektorenrechnung bediente:Sul moto di un corpo pesante intorno a un punto fisso, Rendiconti della R. Acc. dei Lincei, (5) 172 S. 698-705, Sitzung vom 20. Dezember 1908. (Zusatz während des Druckes.)
[8] In der Note (A), S. 547, hatte ich diesen unerheblichen Ausnahmefall übersehen und nur den Fall der Ruhe erwähnt.
[9] Journ. f. Math. Band113 (1894). Heß hätte bei seinen Rechnungen die permanenten Drehungen finden müssen, allein es entging ihm der entscheidende Umstand, daß es beijedem unsymmetrischen Kreisel eine solche zweigliedrige Schar von Bewegungen gibt, und so sprach er nur von ?einigen untergeordneten Fällen gleichförmiger Drehbewegung? (Math. Ann. Bd. 37 (1890), S. 154). Für die verwandten Untersuchungen von E. J. Routh vgl. den oben erwähnten Encyklopädie-Artikel IV 6, S. 643, Anm. 542.
[10] Bamberger Programm, S. 26; vgl. Math. Ann. Bd. 37 (1890), S. 154.
[11] Bamberger Programm, S. 29-30; Math. Ann. Bd. 37, S. 166.
[12] Den Gang der folgenden Rechnung habe ich bereits in der Note:Über die reduzierten Differentialgleichungen des schweren unsymmetrischen Kreisels, Göttinger Nachrichten, Math.-phys. Klasse, 1908, S. 272-274 angegeben.
[13] Bamberger Programm, §12, S. 31-39.
[14] Bamberger Programm, § 12, S. 31-40.
[15] Theorie des Kreisels, Heft2, Leipzig 1898, S. 378. · Zbl 0034.40402
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