Le problème biharmonique restreint. (French) JFM 40.0842.01

Zaremba, S.

Ann. de l’Éc. Norm. (3) 26, 337-404 (1909).

unter dem “beschränkten biharmonischen Problem” versteht der Verf. die Aufgabe, für einen endlichen Bereich (D)) eine Lösung der Gleichung \(\varDelta^2w = 0\) \([\varDelta^2w =\varDelta\varDelta w\), wenn \(\varDelta\) den Laplaceschen Operator bezeichnet] zu finden, so daß \(w\) und seine ersten partiellen Ableitungen an der Grenze von \((D)\) mit einer gegebenen Funktion \(\varphi\) und deren ersten Ableitungen zusammenfallen. Die Funktion \(\varphi\) soll dabei nebst ihren ersten Ableitungen im Innern und an der Grenze von \((D)\) kontinuierlich sein und außerdem noch die Eigenschaft haben, daß, wenn man \((D)\) mit Masse von der Dichtigkeit \(\psi=\varDelta\varphi\) belegt, das Potential dieser Belegung erste Ableitungen besitzt, die in \((D)\) und beim Überschreiten der Grenze von \((D)\) kontinuierlich bleiben. Dieses beschränkte biharmonische Problem wird hier für ebene Bereiche \((D)\) behandelt. Es wird gezeigt, daß das in Rede stehende Problem sich auf das folgende andere zurückführen läßt. Ist eine Funktion \(\psi\) gegeben, die die Eigenschaft hat, daß \[ \int_{(D)}\psi^2d\tau \] einen Sinn hat, so soll eine im Innern von \((D)\) harmonische Funktion \(v\) von folgender Beschaffenheit bestimmt werden: \(\int_{(D)}v^2d\tau\) soll endlich sein, und wenn h irgendeine in \((D)\) harmonische Funktion ist, so soll \[ \int_{(D)}\psi\, hd\tau=\int_{(D)}vh\, d\tau \] sein, vorausgesetzt, daß \(\int_{(D)}h^2\, d\tau\) endlich ist. Die Bestimmung von \(v\) wird als “intermediäres Problem” bezeichnet. Dasselbe hat für den Kreis vom Radius \(r\) folgende Lösung: \[ v=\sum^\infty_{0}A_nv_n, \] und darin ist \[ \begin{aligned} & v_0=\frac{1}{r\sqrt{\pi}}\,,\\ & v_{2k-1}=\frac{1}{r{k+1}}\sqrt{\frac{2(1+k)}{\pi}}\;\varrho^k\sin k\vartheta,\\ & v_{2k}=\frac{1}{r^{k+1}}\sqrt{\frac{2(1+k)}{\pi}}\;\varrho^k\cos k\vartheta,\\ & A_n=\int\psi v_nd\tau\quad (k= 1,2,\dots );\end{aligned}\qquad (k=1,2,\dots ) \] das letztere Integral ist über die Fläche des Kreises zu erstrecken, während \(\varrho,\vartheta\) Polarkoordinaten eines Punktes im Innern des Kreises bezeichnen.
Weiter wird gezeigt, daß derartige Lösungen in Reihenform für jeden ganz im Endlichen liegenden ebenen Bereich \((D)\)) existieren, und zum Schluß wird ein Verfahren dargelegt, die Aufgabe wirklich rechnerisch durchzuführen, falls man die Lösungen des Dirichletschen Problems für den betreffenden Bereich kennt. Die Einzelheiten der Entwicklung lassen sich nicht ohne große Weitläufigkeit wiedergeben. Wir müssen uns daher mit der obigen Übersicht über das behandelte Problem begnügen. Von Interesse sind gewisse im Laufe der Entwicklung auftretende allgemeine Sätze, so der Nachweis der Eindeutigkeit der Lösung des intermediären Problems, ferner Sätze über die Greensche Funktion zweiter Ordnung sowie folgende Erweiterung des Dirichletschen Prinzips: Wenn man alle möglichen Funktionen \(F\) bildet, die in \((D)\) und auf dem Rande von \((D)\) kontinuierlich sind, die ferner am Rande von \((D)\) gleich einer gegebenen Funktion \(\sigma\) werden, während zugleich ihre normalen Ableitungen in allen Randpunkten mit bestimmter Tangente gleich einer andern gegebenen Funktion \(\sigma_1\) werden, so genügt diejenige unter diesen Funktionen \(F\), die das Integral \[ \int_{(D)}(\varDelta F)^2d\tau \] zu einem Minimum macht, der Gleichung \(\varDelta^2F = 0\).

Reviewer: Wangerin, Prof. (Halle a. S.)

JFM Section:

Zehnter Abschnitt. Mechanik. Kapitel 5. Potentialtheorie.