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Über ein in der Theorie der säkularen Störungen vorkommendes Problem. (German) JFM 40.1005.03
Die Theorie der Säkularstörungen der Exzentrizitäten \(e\) und Perihellängen \(\omega\) führt bei Beschränkung auf erste Potenzen zu Ausdrücken von folgender Form: \[ \begin{aligned} & e \sin \omega = N_0 \sin (g_0t + \beta_0) + N_1 \sin (g_1t + \beta_1) + \cdots + N_{n-1} \sin (g_{n-1} t + \beta_{n-1}),\\ & e \cos \omega = N_0 \cos (g_0t + \beta_0) + N_1 \cos(g_1t + \beta_1) + \cdots + N_{n-1} \cos (g_{n-1} t + \beta_{n-1}),\end{aligned} \] wo die \(N,g,\beta\) Konstanten sind, \(t\) die Zeit. Entsprechendes gilt für die Neigungen \(\varPhi\) und Knotenlängen \(\varTheta\). Es handelt sich hier um die Frage, ob und wann (\(\omega\) oder \(\varTheta\) eine “mittlere” Bewegung besitzen, d. h. in der Form \(ct + \chi\) darstellbar sind, wo \(c\) konstant und \(\chi\) immer endlich bleibt. Sie ist von Lagrange in zwei Fällen bejahend beantwortet worden, nämlich erstens, wenn die rechten Seiten nur zwei Glieder haben, und zweitens wenn ein \(| N |\) größer ist als die Summe aller anderen \(| N |\).
Darauf wendet sich der Verf. zu neueren Untersuchungen, besonders von Gyldén, welche den Nachweis erbringen sollen, daß eine mittlere Bewegung immer existiert. Sie führen aber wegen einer Unterlassung, zu der sich Gyldén später selbst bekannt hat, nicht zum Ziel, doch drückt Gyldén in einer späteren Arbeit seine Meinung dahin aus, daß die mittlere Bewegung vorhanden sei, wenn auch der Weg, sie zu finden, noch dunkel und schwierig sei. Ein zweiter Versuch von Cavallin nimmt zunächst an, daß die \(g\) kommensurabel seien, in welchem Fall offenbar eine mittlere Bewegung existiert.
Nach einigen Bemerkungen über die absoluten Werte von \(e\) und die möglicherweise vorhandenen Nullstellen kommt der Verf. zu seinen eigenen Untersuchungen, in welchen er sich auf drei Glieder beschränkt, und setzt: \[ \begin{aligned} & \xi = u\cos v = A_1\cos(g_1t+\beta_1)+ A_2\cos(g_2+\beta_2) + A_3\cos(g_3t + \beta_3),\\ & \eta = u\sin v = A_1\sin(g_1t+\beta_1)+ A_2\sin(g_2+\beta_2) + A_3\sin(g_3t + \beta_3),\end{aligned} \] Es seien \(g_1,g_2,g_3\) voneinander verschieden, \(g_1 < g_2 < g_3\) und \[ 2A_\mu < | A_1| +| A_2| +| A_3|,\quad \mu=1,2,3. \] Aus \(A_1, A_2, A_3\) als Längen wird ein Dreieck gebildet, mit den Winkeln \(w_1,w_2,w_3\). Ferner wird gesetzt: \[ \begin{aligned} \varrho & = \frac{g_2-g_1}{g_3-g_1}\,,\quad \zeta=\tfrac1\pi(w_1+\varrho w_2),\\ b & = \beta_3 - \beta_1 - \frac{\beta_2-\beta_1}{\varrho}\,,\quad \omega=\frac{1}{2\pi}(\pi-\pi\zeta+(b+\pi)\varrho).\end{aligned} \] Wenn \(\varrho\) eine Rationalzahl ist, wird \(\varrho=\frac{{\mathfrak m}}{{\mathfrak n}}\) gesetzt, \(\mathfrak m\) und \(\mathfrak n\) teilerfremd.
Endlich sei \(H\) die Anzahl der zwischen \({\mathfrak n}\cdot\omega\) und \({\mathfrak n}\cdot (\omega + \zeta)\) liegenden ganzen Zahlen und \(h\) die Anzahl der etwa mit \({\mathfrak n}\cdot\omega\) oder \({\mathfrak n}\cdot(\omega+\zeta)\) zusammenfallenden ganzen Zahlen. Dann gelten folgende Sätze:
I. Der Ausdruck \(\varphi(t)/t\) strebt, wenn \(t\) unbeschränkt wächst, nach einer endlichen Grenze.
Diese Grenze ist, falls \(\varrho\) irrational ist, \((g_1w_1+g_2w_2+g_3w_3)/\pi\); falls aber \(\varrho\) rational ist: \[ \frac{g_3-g_1}{2{\mathfrak n}}\;(h+2H)+g_1. \] II. Was die Frage nach der Existenz einer mittleren Bewegung betrifft, so hängt die Antwort auf dieselbe nur von den Größen \(\varrho\) und \(\zeta\) ab. Sind die positiven Größen \(\varrho_0\) und \(\zeta_0\) kleiner als Eins, sonst beliebig gewählt, so gibt es in beliebiger Nähe von \(\varrho_0\) solche Zahlen \(\varrho_0+ \varepsilon\), daß keine mittlere Bewegung existiert, wenn \(\zeta =\zeta_0\), \(\varrho=\varrho_0+\varepsilon\) ist. In beliebiger Nähe von \(\varrho_0\) gibt es natürlich auch solche Zahlen \(\varrho_0+\varepsilon\), daß eine mittlere Bewegung existiert. Dies folgt schon aus dem Umstände, daß ein rationales \(\varrho\) stets die Existenz einer mittleren Bewegung zur Folge hat.
Der umfangreiche Beweis beruht auf zahlengeometrischen Hülfssätzen. Schließlich wendet sich der Verfasser wieder den Anwendungen auf die säkularen Störungen zu.

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Full Text: DOI Crelle EuDML