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On the factorization of integral functions with \(p\)-adic coefficients. (English) JFM 41.0229.02

Hensel hat in seiner “Theorie der algebraischen Zahlen” (F. d. M. 39, 269, 1908, JFM 39.0269.01) den Satz aufgestellt (S. 71): Wenn \(F(x)\equiv f_0(x)\cdot g_0(x) (\text{mod}.\,p^{s+i})\) für \(s+1>2\varrho\), wo \(\varrho\) die Ordnung der Resultante von \(f_0(x)\) und \(g_0(x)\), so ist \(F(x)\) das Produkt \(f(x)\cdot g (x)\) zweier ganzen Funktionen mit ganzen \(p\)-adischen Koeffizienten, von denen \(f_0(x)\) und \(g_0(x)\) die Konvergenten von Range \(s-\varrho\) sind.
Hensels Beweis ist tatsächlich ein Verfahren zur Konstruktion der sukzessiven Konvergenten von \(f(x)\) und \(g(x)\). Jeder Schritt des Verfahrens erfordert die Lösung einer linearen Gleichung von zwei Unbekannten mit \(p\)-adischen Koeffizienten. Der Gegenstand der Note ist die Ermittelung eines entschieden einfacheren Verfahrens, das uns von diesen linearen Gleichungen enthebt und nur die Lösung einer einzigen linearen Kongruenz verlangt.”
Es möge bemerkt werden, daß gleich hinter der Note (S. 23-26) eine sehr eingehende Besprechung des Henselschen Buches von L. E. Dickson folgt, die mit den Worten schließt: “Außer dem inneren Interesse, das den neuen von Hensel betretenen Feldern und Gebieten anhaftet, hat sich seine Theorie als derartig bedeutend in den schwierigen, auf Diskriminanten sich beziehenden Problemen erwiesen, daß ihr ein dauernder Platz in der Theorie der algebraischen Zahlen eingeräumt werden muß.”

MSC:

11S85 Other nonanalytic theory

Citations:

JFM 39.0269.01
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