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On a theory of congruences in several variables. (Sur une théorie des congruences à plusieurs variables.) (French) JFM 41.0234.03
Der Verf. studiert Kongruenzen der Form \[ F(x,y)\equiv \sum_{i=0}^m \sum_{k=0}^n A_i^{(k)}x^{m-i}y^{n-k}\equiv 0, \] genommen nach einer Primzahl \(p\) als Modul. Nennt man \(x,y\) nicht verschwindende Lösungen, falls beide zu \(p\) prim sind, so kann man in diesem Fall \(n=m=p-2\) setzen. Es sei: \[ F(x,y)\equiv \sum_{k=0}^{p-2} (a_0^{(k)}x^{p-2}+a_1^{(k)}x^{p-3}+\cdots +a^{(k)}_{p-2})y^{p-k-2}\equiv 0, \]
\[ A_k=\left(\begin{matrix} a_0^{(k)} & a_1^{(k)} & \dots & a_{p-2}^{(k)}\\ .\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;. \\ a_{p-2}^{(k)} & a_0^{(k)} & \dots & a_{p-3}^{(k)}\end{matrix}\right), \]
\[ C_F=\left|\begin{matrix} A_0 & A_1 & \dots & A_{p-2}\\ A_1 & A_2 & \dots & A_0\\ .\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;. \\ A_{p-2} & A_0&\dots&A_{p-3}\end{matrix} \right|. \] Dann beweist der Verf. die Sätze: 1. Die hinreichende und notwendige Bedingung dafür, daß \(F\equiv 0 (\text{mod.}\,p)\) eine nicht verschwindende Lösung besitzt, ist \(C_F\equiv 0 (\text{mod.}\,p)\). 2. Damit \(F\equiv 0 (\text{mod.}\,p)\) genau \(r\) nicht verschwindende Lösungen hat, ist notwendig und hinreichend, daß \(C_F\) vom Range \((p - 1)^2-r (\text{mod.}\, p)\) sei (d. h. unter den Unterdeterminanten \([(p-1)^2-r]\)-ten Grades ist eine zu \(p\) prime).
Zwei entsprechende Sätze gelten für den Fall, daß man nicht nur die nicht verschwindenden, sondern alle möglichen Lösungen betrachtet.
MSC:
11D79 Congruences in many variables
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Full Text: DOI Numdam EuDML