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Les probabilités à plusieurs variables. (French) JFM 41.0265.01
Man denke sich ein derartig stetiges Spiel, daß, wenn \(\mu\) Partien zu spielen sind, die Gewinne oder die Verluste der Spieler stetig vorausgesetzt werden. Die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten drücken sich dann durch stetige Funktionen aus, und schließlich ist die Größe \(\mu\) selbst stetig. Redet man von der \(\mu\)-ten und von der \((\mu + 1)\)-ten Partie [oder von dem \(\mu\)-ten und dem \((\mu + 1)\)-ten Versuche], so ist dies so zu verstehen, daß im zweiten Falle \(\mu\) durch \(\mu +d\mu\) ersetzt wird. Was man die Bedingungen des Spieles für eine Partie nennt, ist der Inbegriff der möglichen Änderungen der Gewinne oder der Verluste der Spieler zwischen \(\mu\) und \(\mu +d\mu\). Zur gehörigen Auffassung der Stetigkeit der Größ e \(\mu\) genügt es, sie als die Zeit bedeutend zu betrachten. Die unter der Annahme der Stetigkeit erhaltenen Formeln sind nur angenähert, wenn man sie auf unstetige Spiele anwendet.
Die Spielbedingungen können in jedem Elemente \(d\mu\) identisch sein oder, wenn man will, bei jeder Partie; dann sagt man, das Spiel sei gleichmäßig, oder es herrsche Gleichmäßigkeit. Die Bedingungen können von einer Partie zur anderen veränderlich sein nach einem vorgegebenen Gesetze, das einzig von dem dieser Partie zukommenden Range abhängt und von den dieser Partie vorangehenden Tatsachen unabhängig ist. Dann sagt man, es bestehe Unabhängigkeit.
Man kann die Klassifizierung auch unter einem zweiten Gesichtspunkte vornehmen. Sind \(n\) Spieler vorhanden, so kann die Aufgabe, mit der man zu tun hat, sich auf die Bestimmung von einem, von zwei, . . . , von \((n - 1)\) Spielern beziehen. Dann sagt man, es seien Wahrscheinlichkeiten mit einer, mit zweien, . . . , mit \((n- 1)\) Variabeln.
Eine dritte Klassifizierung ist ebenso unerläßlich. Wenn alle Variabeln alle Werte von \(-\infty\) bis \(+\infty\) annehmen können, heißen die Wahrscheinlichkeiten von der ersten Gattung. Wenn eine der Variabeln in einer Richtung begrenzt ist, heißen die Wahrscheinlichkeiten von der zweiten Gattung. Wenn eine der Variabeln in beiden Richtungen begrenzt ist, sind die Wahrscheinlichkeiten von der dritten Gattung. Die Wahrscheinlichkeiten sind von höheren Gattungen, wenn zwei oder mehr Variabeln begrenzt sind. – Der Zweck der gegenwärtigen Arbeit ist das Studium der Wahrscheinlichkeiten erster Gattung mit beliebig vielen Variabeln.
Folgende Aufgabe wird gelöst: Die Spieler \(A_1, A_2, \dots ,A_n\), welche ein unbegrenztes Vermögen besitzen, sollen \(\mu\) Partien spielen; welches ist die Wahrscheinlichkeit, daß der Spieler \(A_1\) die Summe \(x_1\) verliert, der Spieler \(A_2\) die Summe \(x_2\dots,\) der Spieler \(A{n-1}\) die Summe \(x_{n-1}\)?

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