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Leçons sur les séries de polynomes à une variable complexe. (French) JFM 41.0277.01

Paris: Gauthier-Villars. VI + 128 S. \(8^{\circ}\) (1910).
Das Buch gibt einen guten Überblick über die verschiedenen Methoden, eine analytische Funktion in eine nach Polynomen fortschreitende Reihe zu entwickeln.
In einem ersten Kapitel werden die für das folgende wichtigen Sätze aus der Mengenlehre und der allgemeinen Theorie der analytischen Funktionen gegeben. Insbesondere haben die neueren Resultate über die Konvergenz von Folgen analytischer Funktionen Aufnahme gefunden.
Gestützt auf diese allgemeinen Sätze, werden dann die verschiedenen Methoden der genannten Entwicklungen analytischer Funktionen unter einem einheitlichen Gesichtspunkt dargestellt; es sind dies insbesondere die Methoden von Painlevé, Hilbert, Runge und Appell. Die Mittag-Lefflerschen Arbeiten werden nicht berührt, da sie sich schon in einem früheren Heft der Borelschen Sammlung dargestellt finden.
Das dritte Kapitel ist ausschließlich den schönen Faberschen Entwicklungen gewidmet (F. d. M. 34, 430, JFM 34.0430.01 und 38, 439, JFM 38.0439.01).
Die beiden letzten Kapitel enthalten allgemeine Konvergenzuntersuchungen über die in Rede stehenden Reihen: das vierte untersucht den Zusammenhang der in verschiedenen Konvergenzgebieten dargestellten Funktionen, während das fünfte über die Resultate berichtet, die bisher auf dem Wege zur Lösung des folgenden Problems gemacht worden sind: “Welches sind die notwendigen und hinreichenden Bedingungen dafür, daß die Summe einer Reihe von Polynomen (und allgemeiner: von analytischen Funktionen) selbst eine analytische Funktion darstellt?”
Die Resultate dieses letzten Kapitels sind seitdem durch eine Arbeit von Carathéodory und Landau (Berl. Ber. 1911, 587-613) erheblich überholt.

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