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Delle varie specie di convergenza uniforme. (Italian) JFM 41.0280.01

Ven. Ist. Atti 69 [(8) 12], 1083-1102 (1910).
In der F. d. M. 40, 311, JFM 40.0311.01 besprochenen Arbeit des Verf. wurden notwendige und hinreichende Bedingungen dafür aufgestellt, daß die Folge \(f_1(x), f_2(x),\dots\) von (im abgeschlossenen Intervall \((a\dots b)\)) stetigen Funktionen (im gewöhnlichen Sinne) gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion \(f(x)\) konvergiert. In der vorliegenden Arbeit wird nun das analoge Problem bezüglich der einfachgleichmäßigen Konvergenz behandelt und das folgende Resultat erzielt:
Die Folge der \(f_n(x)\) konvergiere für jedes \(x\) des genannten Intervalls. Es sei \(M_n(x,\varepsilon)\) für jedes \(\varepsilon>0\) das Maximum und \(m_n(x,\varepsilon)\) das Minimum von \(f_n(x)\) im Intervall \((x-\varepsilon \cdots x+\varepsilon)\); ferner sei \[ \overline{\mu}(x,\varepsilon )=\lim\text{inf}_{n=\infty}M_n(x,\varepsilon)\;\text{und}\;\overline{\nu}(x,\varepsilon)=\lim\text{sup}_{n=\infty}m_n(x,\varepsilon). \] Ist dann endlich \[ \overline{\mu}(x)=\lim\text{inf}_{\varepsilon=0}\overline{\mu}(x,\varepsilon )\;\text{und}\;\overline{\nu}(x)=\lim\text{sup}_{\varepsilon=0}\overline{\nu}(x,\varepsilon). \] so lautet die notwendige und hinreichende Bedingung für die einfach-gleichmäßige Konvergenz der Funktionenfolge: Es muß
1. \(\overline{\mu}(x)-\overline{\nu}(x)=\overline{\tau}(x)\) identisch 0 sein im Intervall \((a,b)\),
2. es muß eine Teilfolge \(f_{n_1}(x),f_{n_2}(x),\dots\) existieren,
deren Schwankung \(\Omega(x)\) (im Sinne der eingangs genannten Arbeit) für jedes \(x\) mit \(\overline{\tau}(x)\) zusammenfällt.

Citations:

JFM 40.0311.01