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Sur une classe remarquable de séries de Taylor. (French) JFM 41.0285.01

Das Problem, aus einer gegebenen Potenzreihe \(\sum u_nz^n\) die Lage und den Charakter der Singularitäten der durch sie definierten Funktion abzulesen, ist bisher nur in den einfachsten Fällen gelöst. Diese beziehen sich auf den Fall, daß die Koeffizienten \(u_n\) selbst gewisse einfache analytische Funktionen von \(u\) sind. Fatou gibt eine neue Klasse von Potenzreihen, für die das genannte Problem lösbar ist. Er beweist, gestützt auf gewisse Ergebnisse von G. Koenigs über iterierende Verfahren, den folgenden Satz:
Es sei \(\vartheta(u)\) eine in einem Gebiete \(D\) reguläre analytische Funktion. Die Gleichung \(\vartheta(u)-u=0\) habe im Innern von \(D\) eine einfache Wurzel \(\alpha\), für die \(| \vartheta'(\alpha)|<1\). Dann existiert nach Koenigs ein ganz in \(D\) gelegener Kreis \(\Gamma\) um \(\alpha\), für dessen sämtliche Punkte \[ | \vartheta(u)-\alpha|<K| u-\alpha|\quad (0<K<1) \] ist; und die durch Iteration entstehende Zahlenfolge \[ u,\vartheta(u),\vartheta_2(u)=\vartheta\vartheta(u),\dots, \vartheta_n(u)=\vartheta\vartheta_{n-1}(u),\dots \] konvergiert gleichmäßig für alle \(u\) in \(\Gamma\) gegen \(\alpha\). Setzt man nun \(u_0=u\), \(u_n=\vartheta(u)\) (\(u\) beliebig in \(\Gamma\)), so hat die Funktion \(f(z)=\sum u_nz^n\) die Eigenschaften:
1. Sie ist in der ganzen Ebene meromorph.
2. Sie ist der Quotient zweier ganzen Funktionen vom Geschlechte 0.
3. Die dabei im Nenner stehende ganze Funktion ist, wenn \(\vartheta' (\alpha )=a\) gesetzt wird, \(=(1-z)(1-az)\dots(1-a^nz)\dots\).

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Full Text: DOI Numdam EuDML