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Sur la convergence des séries de Dirichlet. (French) JFM 41.0291.01

Bei einer Dirichletschen Reihe \(\sum a_ne^{-\lambda_n(\sigma+ti)}\) unterscheidet man neben der Konvergenzgeraden \(\sigma=\alpha\) eine solche für die absolute Konvergenz: \(\sigma=\beta\) \((\beta \ge \alpha)\). Für \(\sigma>\alpha+\varepsilon\), \(| t|<\text{const}\), konvergiert die Reihe überdies gleichmäßig; für \(\sigma>\beta+\varepsilon\) ist dies auch ohne die Einschränkung \(| t|<\text{const.}\) der Fall. Bohr führt eine dritte Grenzgerade \(\sigma=\gamma\) ein \((\alpha\le\gamma\le \beta)\), derart daß die Reihe zwar für \(\sigma>\gamma+\varepsilon\), aber nicht für \(\sigma>\gamma-\varepsilon\) (ohne die Einschränkung \(| t| < \text{const.}\) gleichmäßig konvergiert. Er nennt dann ohne Beweis einige Sätze, die die große Bedeutung dieser Grenzgeraden für das analytische Verhalten der durch die Reihe definierten Funktion zeigen.

MSC:

30B50 Dirichlet series, exponential series and other series in one complex variable