Sur les intégrales singulières. (French) JFM 41.0327.02

Lebesgue, H.

Toulouse Ann. (3) 1, 25-117 (1910).

Diese umfangreiche Abhandlung beschäftigt sich mit den Integralen von der Form \[ (1) \quad I_n[f(t),n] = \int^l_0 f(t)\varphi (t-x,n)dt \] und namentlich mit der Bestimmung der Bedingungen dafür, daß \[ \lim_{n=\infty} I_n=f(x). \] Die bekannten Integrale von Poisson, Weierstraß , Fourier-Dirichlet, Landau, de la Vallée-Poussin, Fejér sind als Spezialfälle in (1) enthalten. Die Arbeit gliedert sich in 48 Artikel. In den ersten 11 Artikeln werden allgemeine, zumeist bereits bekannte Sätze über die summierbaren Funktionen (fonctions sommables) abgeleitet. Insbesondere werden die Substitution einer neuen Variable, die teilweise Integration, sowie die gliedweise Integration konvergenter Folgen von Funktionen betrachtet. In den Artikeln (12) bis (21) werden die notwendigen und hinreichenden Bedingungen dafür aufgestellt, daß für alle einer bestimmten Klasse angehörenden Funktionen \(f (t)\) \[ \lim_{n=\infty} I_n(f) = \lim_{n=\infty} \int^b_a f(\alpha )\varphi (\alpha ,n)d\alpha =0. \] Der Verf. betrachtet folgende Klassen von Funktionen: 1) summierbare Funktionen, 2) Funktionen, deren Quadrate summierbar sind, 3) beschränkte summierbare Funktionen, 4) die sogenannten einfach unstetigen Funktionen (fonctions simplement discontinues), d. h. Funktionen, die nur Unstetigkeiten erster Art haben, 5) stetige Funktionen, 6) Funktionen von beschränkter Schwankung, 7) stetige Funktionen von beschränkter Schwankung. Für die Funktionen der Klasse 2) lauten die fraglichen Bedingungen wie folgt:
Die Funktion \([\varphi (\alpha ,n)]^2\) muß summierbar sein. Das Integral \[ \int^b_a [\varphi (\alpha ,n)]^2 d\alpha \] muß für alle \(n\) unterhalb einer festen Schranke liegen. Es muß schließlich \[ \lim_{n=\infty} \int^{\mu}_{\lambda} \varphi (\alpha ,n)d\alpha =0 \] sein, wie auch \(\lambda\) und \(\mu\) in dem Intervalle \((a, b)\) gewählt sein mögen.
Die Artikel (22) bis (32) enthalten die Bedingungen dafür, daß \[ (2) \quad \lim_{n=\infty} I_n[f(t),n]=f(x) \] ist, und zwar erstens in den Stetigkeitspunkten von \(f (x)\), dann in denjenigen Stellen, in denen \[ f(x)=\lim_{h=0}\,\frac{1}{h}\,\int^{x+h}_x f(\tau )d\tau \] bleibt.
Für die Funktionen der Klasse 2) lauten die, übrigens notwendigen und hinreichenden, Bedingungen dafür, daß an einer Stetigkeitsstelle die Beziehung (2) erfüllt ist, wie folgt:
Die für alle \(\alpha\) in dem Intervalle (3) \((- l, +l)\) erklärte Funktion \(\varphi (\alpha ,n)\) muß in jedem im Innern von \((- l, 0)\) oder \((0, l)\) enthaltenen Intervalle \((a,b)\) die oben angegebenen Bedingungen erfüllen. Für alle \(l_1\) im Innern von \((0,l)\) und für alle \(n\) muß das Integral \[ \int^{+l_1}_{-l_1}| \varphi (\alpha ,n)| d\alpha \] unterhalb einer festen Schranke liegen. Für alle \(e\), die so gewählt sind, daß \((e,e + l)\) im Innern von \((- l, + l)\) enthalten ist, mußschließlich sein: \[ \lim_{n=\infty} \int^{e+l}_e \varphi (\alpha ,n)d\alpha =1. \] Der Rest der Arbeit ist den Anwendungen gewidmet. Der Verf. betrachtet zunächst die Integrale von Fourier-Dirichlet, Poisson, Fejér, Weierstraß, Landau, de la Vallée-Poussin und im Anschluß hieran die Darstellung stetiger Funktionen durch Polynome und endliche trigonometrische Reihen. Es folgen dann einige Sätze über das Stieltjessche Problem der Momente, ein neuer Beweis des Satzes von Parseval-Fatou über die Summe der Quadrate der Fourierschen Koeffizienten nicht beschränkter, nebst ihrem Quadrate summierbarer Funktionen sowie einige Betrachtungen über die Interpolation. Zum Schluß werden einige Sätze ber die beste Approximation stetiger, der Lipschitzschen Bedingung \(| f(x+ h) - f (x)| < kh\), oder der Lipschitz-Dinischen Bedingung \(\lim \text{Max}| f (x+\delta ) - f (x)| \log \delta = 0\) genügender Funktionen durch Polynome vom Grade \(n\) und endliche trigonometrische Reihen von der Ordnung \(n\) abgeleitet.

Reviewer: Lichtenstein, Dr. (Berlin)

JFM Section:

Sechster Abschnitt. Differential- und Integralrechnung. Kapitel 4. Bestimmte Integrale.