Remarques sur un énoncé dû à Stieltjes et concernant les intégrales singulières. (French) JFM 41.0329.01

Lebesgue, H.

Toulouse Ann. (3) 1, 119-128 (1910).

In einem Briefe an Hermite vom 27./11. 1891 teilt Stieltjes unter anderem ohne Beweis den folgenden Satz mit. Es sei \(\varphi (x)\) eine stetige positive Funktion \(\leqq 1\), die nur für \(x = b\) ihr Maximum erreicht, während in der Nachbarschaft von \(b\) die Beziehung \(\varphi (b + t) = 1 - \alpha t^2 (1 +\varepsilon )\) besteht. Hierin bezeichnet \(\alpha\) eine positive Konstante, \(\varepsilon\) eine Funktion, die mit \(t\) zugleich gegen Null konvergiert. Es ist ferner bekannt, daß das Integral \(\int^{\infty}_a [\varphi (x)]^pdx\) für einen gewissen positiven Wert von \(p\) existiert, und daß \(| f(x)[\varphi (x)]^q|\) für ein bestimmtes positives \(q\) und alle \(x\) unter einer festen Schranke liegt. Ist schließlich \(f (x)\) im Punkte \(b\) stetig, so ist \[ \lim_{m=\infty} \sqrt{m} \int^{\infty}_a f(x)[\varphi (x)]^mdx = \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}f(b). \]
Der Verf. teilt einen einfachen Beweis des im Vorstehenden angegebenen, übrigens von ihm in geeigneter Weise modifizierten Satzes mit.

Reviewer: Lichtenstein, Dr. (Berlin)

JFM Section:

Sechster Abschnitt. Differential- und Integralrechnung. Kapitel 4. Bestimmte Integrale.