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Sui valori eccezionali di un parametro da cui dipende un’equazione differenziale lineare ordinaria del secondo ordine. (Italian) JFM 41.0351.01
M. Mason betrachtet in seiner Arbeit “On the boundary value problems of linear ordinary differential equations of second order” (American M. S. Trans. 7, 337-369, 1906) die Gleichung \[ (1) \quad \frac{d^2y}{dx^2} + p(x)\,\frac{dy}{dx} + \{ \lambda A(x) + B(x) \} y=0, \] wo \(p (x), A (x)\) und \(B (x)\) in dem endlichen Intervall \((a, b)\) reelle endliche und stetige Funktionen der reellen Variable \(x\) sind und daselbst \(B (x) \leqq 0\) ist, und beweist die Existenz unendlich vieler reeller “Eigenwerte” von \(\lambda\), deren jedem ein nicht identisch verschwindendes Integral von (1), die zugehörige “Eigenfunktion” entspricht, welche den Randbedingungen \[ (2)\quad \left\{ \begin{aligned} & L_1y \equiv a_1y(a) + a_2y(b) + a_3y'(a) + a_4y'(b)=0, \\ & L_2y \equiv b_1y(a) + b_2y(b) + b_3y'(a) + b_4y'(b) =0 \end{aligned}\right. \] genügt, wo die Koeffizienten \(a_i, b_i\) noch gewisse Bedingungen erfüllen. Es war dies ein erster Versuch, sich von jeglicher Voraussetzung über den Zeichenwechsel der Funktion \(A (x)\) im Intervall \((a, b)\) freizumachen; Masons “Minimumsmethode” ist der klassischen, von H. Weber bei der Gleichung der schwingenden Membranen befolgten Methode analog. Einer anderen Methode hat sich der Verf. in seiner Diss. (Pisa Ann. 10) bedient, um für \(p (x) \equiv 0\) und \(B (x) \equiv 0\) den Fall zu untersuchen, daß die Funktion \(A (x)\) im Intervall \((a, b)\) ihr Vorzeichen wechselt. In einer späteren Abhandlung (Litogr. L. Battei, Parma, August 1908), die denselben Titel wie die vorliegende trägt, hat er dann mittels dieser Methode die Existenz unendlich vieler (reeller) Eigenwerte von \(\lambda\) für jedes der Bedingungspaare \(y (a) = 0,\;y' (b) = 0;\;y' (a) = 0,\;y (b) = 0;\;y (a) = 0,\;y (b) = 0;\;y' (a) = 0,\;y' (b) = 0\) nachgewiesen, falls die Nullpunkte der Funktion \(A(x)\), in denen sie ihr Zeichen wechselt, im Intervall \((a, b)\) eine Menge erster Art bilden; gleichzeitig ergaben sich die Oszillationstheoreme für die entsprechenden Eigenfunktionen.
In der vorliegenden Abhandlung, die auf den in den vorangehenden Arbeiten gelegten Fundamenten ruht, stellt Verf. nach vorbereitenden Betrachtungen (§ 1) zunächst im § 3 die Existenz der Eigenwerte von \(\lambda\) in der Gleichung (1) fest, die den Bedingungen \[ (4)\quad a_1y(a) + a_2y'(a) =0,\;b_1y(b) + b_2y'(b)=0 \] entsprechen. Die Methoden des Verf. bilden die natürlichste Ausdehnung der klassischen Sturmschen Methoden, die zugleich eine bedeutende Vereinfachung erfahren. Verf. gelangt zu seinem Ziele auf zwei ganz verschiedenen Wegen von gleicher Einfachheit: der eine (Nr. 6) geht unmittelbar vor den Ergebnissen der beiden vorhergehenden Arbeiten aus; der andere hat seinen Ursprung in einer vom Verf. für verschiedene Zwecke angewandten Überlegung, die auch im § 2 einen sehr einfachen Beweis der bekannten Sturmschen Resultate und früheren Resultate des Verf. liefert.
Alsdann betrachtet Verf. im § 4 spezieller die Eigenwerte von \(\lambda\), in Gleichung (1), die einem der Bedingungspaare \[ (5)\quad \left\{\begin{aligned} a_1y(a) + a_2&y'(a) =0, \\ &y(b) =0,\end{aligned}\right. \left\{\begin{aligned} a_1y(a) + a_2&y'(a) =0, \\ &y'(b) =0 \end{aligned}\right. \quad (a_1a_2 \leqq 0) \] entsprechen, und untersucht sie als Funktionen des Intervalles, auf das sie sich beziehen. Diese Untersuchung wird dann (Nr. 17) auf das Studium eines in \(a\) nicht negativen und nicht abnehmenden oder daselbst nicht positiven und nicht wachsenden Integrales \(y (x, \lambda )\) von (1) angewendet: es gelingt, die Nullstellen, die Maxima und Minima der Funktion \(y (x, \lambda )\) zu bestimmen un zu entscheiden, ob diese Funktion in einem gegebenen Punkte wächst oder abnimmt, so daß man eine sehr genaue Vorstellung von der Form der Kurve \(y = y (x, \lambda )\) erhält. Es folgt hierauf in Nr. 18 eine ausführliche Angabe des Oszillationstheorems für das allgemeine Integral von (1).
In § 5 werden die Eigenwerte von \(\lambda\) in (1) mit den Bedingungen (4) als Minima und Maxima eines aus Integralen zusammengesetzten Ausdruckes betrachtet, der im allgemeinen von dem von Mason betrachteten verschieden ist.
In dem Schlußparagraphen (§ ) behandelt Verf. zunächst (Nr. 23) die Greensche Funktion für die gewöhnlichen linearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit allgemeineren linearen Bedingungen von der Form \[ (6_1)\quad L_iy = \sum^{k=2}_{k=1} \int^b_a a_{ik} (\tau ) y^{(k-1)} (\tau )d\tau =l_i \quad (i=1,2), \] oder \[ (6_2)\quad L_iy = \sum^{k=2}_{k=1} \sum^{l=m_{ik}}_{l=1} a_{ikl} y^{(k-1)} (\tau_{ikl} )=l_i \quad (i=1,2). \] In den Bedingungen (\(6_1\)) sind die in dem endlichen Intervall \((a, b)\) reelen endlichen und integrablen Funktionen \(a_{ik} (\tau )\) zugleich mit den reellen Größen \(l_i\) gegeben, in den Bedingungen (\(6_2\)) die Punkte \(\tau_{ikl}\) von \((a, b)\) in endlicher Anzahl \(\leqq \sum_{i,k} m_{ik}\) zugleich mit den reellen Größen \(a_{ikl}\) und \(l_i\).
Diese Behandlung umfaßt zum großen Teile als Spezialfall die von Hilbert in seinen Untersuchungen über die gewöhnlichen linearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung (Grundzüge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen, 2. Mitteilung, Gött. Nachr. 1904, 213-258). Verf. erreicht seinen Zweck durch Benutzung der Resultate von Volterra über die Umkehrung der bestimmten Integrale, welche ihm gestatten, für das allgemeine Integral der Gleichung \[ \frac{d^2y}{dx^2} + p(x)\,\frac{dy}{dx} + q(x)y + \varphi (x)=0 \] einen neuen Ausdruck anzugeben (Formel (9) der Nr. 23). Dieser Ausdruck leistet bei der ganzen Entwicklung wichtige Dienste, und mit seiner Hülfe gelingt es, in jedem Falle das Problem der Bestimmung eines Integrals der Gleichung \[ (7) \quad \frac{d^2y}{dx^2} + p(x)\,\frac{dy}{dx} + q(x,\lambda )y + \varphi (x,\lambda )=0, \] welches den Bedingungen (6) genügt, auf eine lineare Integralgleichung vom Fredholmschen Typus zurückzuführen, wenn \(q (x, \lambda )\) und \(\varphi (x, \lambda )\) ganze Funktionen von \(\lambda\) sind und ein in \(\lambda\) meromorphes Integral \(y (x, \lambda )\) von (7) existiert, welches den Bedingungen (6) mit ganz allgemeinen \(l_i\) genügt.
Gleichzeitig gibt Verf. ein Kriterium, welches über die Existenz der angegebenen Funktion \(y (x, \lambda )\) entscheidet, und im Falle ihrer Existenz eine Methode zu ihrer Berechnung durch sukzessive Approximationen, die in einer gewissen Umgebung von \(\lambda = 0\) konvergiert. Endlich zeigt Verf., wie man aus dieser Entwicklung von \(y (x, \lambda )\) in der Umgebung von \(\lambda = 0\) die Existenz der Eigenwerte von \(\lambda\) in der Gleichung (1) mit besonderen linearen Bedingungen ableiten kann.
In einer Schlußnote werden die im letzten Paragraphen auseinandergesetzten Methoden auf die Behandlung analoger Probleme für gewöhnliche lineare Differentialgleichungen höherer als der zweiten Ordnung ausgedehnt.

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Full Text: Numdam EuDML