Sur certaines équations différentielles d’un type général utilisables en mécanique (Traduit du russe par \(\text{M}^{\text{lle}}\) Tarnarider). (French) JFM 41.0365.01

Bohl, P.

S. M. F. Bull. 38, 5-138 (1910).

Der Verf. hat in seiner Magisterdissertation “Über die Darstellung von Funktionen einer Variable durch trigonometrische Reihen mit mehreren der Variable proportionalen Elementen” (Dorpat 1893) die Bedingungen dafür aüfgestellt, daß eine Funktion einer Variable in eine gleichmäßig konvergierende trigonometrische Reihe von mehreren dieser Variable proportionalen Argumenten entwickelbar sei. In seiner russischen Doktordissertation von 1900, deren Übersetzung ins Französische jetzt vorliegt, werden die Resultate der früheren Arbeit benutzt, um die Möglichkeit der trigonometrischen Lösungen gewisser Differentialgleichungen von allgemeinem Charakter zu bestimmen. Nach Zusammenstellung einiger zum Teil neuer Sätze aus der Theorie der Differentialgleichungen (Kap. I) beschäftigt sich der Verf. (Kap. II) mit dem System der simultanen Differentialgleichungen \[ \frac{dx_i}{dt} = {\sum}_k a_{ik}x_k+\xi \quad (i,k=1,2,\dots ,n), \] wo die \(\xi_i\) Funktionen von \(x\) und \(t\) sind, welche in einem Gebiete \(\alpha_i < x_i < \beta_i\) (0 einbegriffen) und \(t > \tau\) (oder \(t < \tau\), oder \(t\) willkürlich) stetig sind und stetige Derivierten \(d\xi /dx_i\) besitzen. Die Konstanten \(a_{ik}\) seien so beschaffen, daß keine der Wurzeln der charakteristischen Gleichung \[ \left| \begin{matrix} a_{11}-u & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22}-u & \dots & a_{2n} \\ .\;.\;.\;. & .\;.\;.\;. & .\;.\;.\;. & .\;.\;.\;. \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn}-u \end{matrix} \right| =0 \] rein imaginär sei. Dazu kommt noch eine Voraussetzung: es sei möglich eine solche positive Zahl \(\gamma\) zu wählen, daß sämtliche \(x\), deren absoluter Betrag kleiner als \(\gamma\), dem oben erwähnten Gebiete angehören und die Ungleichungen \(| \partial \xi_i/\partial x_k|<\Delta_2 \cdot \gamma\) befriedigen \((| \xi_i|_0 =| \xi_1|_{x_1=x_2=\cdots =x_n =0}\), \(\Delta_1,\;\Delta_2,\dots\) positive, aus den \(a_{ik}\) zu berechnende Größen). – Für dieses System werden mit Hülfe einer linearen Transformation (III) die Bedingungen der Existenz der Lösungen aufgestellt, welche durch trigonometrische Reihen darstellbar sind.
Das vierte Kapitel enthält die Anwendungen der Resultate der ersten drei Kapitel auf Probleme der Mechanik. So führen Fragen über die Zerstreuung der Energie oft auf die Differentialgleichung \[ \frac{d^2\varphi}{dt^2} + 2{\mathfrak K}\,\frac{d\varphi}{dt} + p\varphi = \psi \left( \varphi ,\,\frac{d\varphi}{dt},\,t \right) , \] in der \({\mathfrak K} > 0\) und \(p > 0\) Konstanten sind und \(\psi\) die Korrektionsglieder und die auf die Störungen bezüglichen Glieder umschließt. Nach Besprechung dieser Gleichung wird die Bewegung eines mechanischen Systems erörtert, das Kräften unterworfen ist, von denen manche sich aus einem Potential ergeben, in der Umgebung einer Lage, wo das Potential ein Minimum ist; hierbei werden zwei Typen von Hypothesen unterschieden. Als besonderer Fall der hierbei zuletzt durchgeführten Untersuchung ergibt sich die Behandlung der Aufgabe des Saturnringes. Nach Erledigung dieser Erörterungen wird dann wieder die rein mathematische Betrachtung der Differentialgleichung \[ \frac{d^2z}{dt^2}- [\alpha + \varphi (t)]z= \psi (t) \] durchgeführt, in der \(\varphi (t)\) und \(\psi (t)\) gegebene stetige Funktionen für alle Werte von \(t\) sind, die \(t\) in trigonometrischer Form enthalten.

Reviewer: Lampe, Prof. (Berlin)

JFM Section:

Sechster Abschnitt. Differential- und Integralrechnung. Kapitel 5. Gewöhnliche Differentialgleichungen und Funktionalgleichungen. A. Gewöhnliche Differentialgleichungen.