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Grundlagen für eine Theorie der unendlichen Matrizen. (German) JFM 41.0381.01
Die Arbeit enthält in ihrem zweiten Kapitel die ausführliche Darstellung einer gemeinsamen Untersuchung der beiden Verfasser, deren Ergebnisse sie schon in einer Note in den Gött. Nachr. (F. d. M. 37, 191, 1906, JFM 37.0191.02) angezeigt hatten. Den Kern dieser Untersuchung bilden die beiden Konvergenzsätze, welche besagen, daß eine lineare Form von unendlichvielen Veränderlichen \(a_1x_1+a_2x_2+\cdots\), die für jedes Wertsystem von konvergenter Quadratsumme \(x_1^2+x_2^2+\cdots\) konvergiert, beschränkt ist, und daß ebenso eine Bilinearform von unendlichvielen Veränderlichen \(\sum a_{pq} x_p y_q\) beschränkt ist, wenn sie für alle Wertsysteme \(x_p, y_q\) von konvergenten Quadratsummen selbst entweder zeilenweise oder kolonnenweise oder abschnittsweise (im Sinne der Theorie der Doppelreihenkonvergenz) konvergiert.
Dieser Untersuchung sind im ersten Kapitel die grundlegenden Definitionen und Sätze von Hilbert über “beschränkte Formen”, die sogenannten Faltungssätze, vorangestellt, die Hilbert selbst ohne volle Beweise inmitten schwierigerer Dinge in seiner vierten Mitteilung (F. d. M. 37, 351, 1906, JFM 37.0351.03) publiziert hatte, sowie eine Reihe von Begriffsbildungen und Fragestellungen, auf die sich die Verf. im zweiten Kapitel und in ihren späteren Arbeiten stützen: Kalkül mit beschränkten Matrizen, Äquivalenz von einzelnen Bilinearformen und von Scharen bilinearer Formen, Orthogonaläquivalenz quadratischer Formen von unendlichvielen Variabeln, Definition und Invarianz des Spektrums (abweichend von Hilbert). Den Schluß von Kap. I bildet eine Übersicht über die derzeitigen Resultate der Theorie der unendlichvielen Variabeln.

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References:
[1] Nachr. d. Kgl. Ges. d. Wiss. zu Göttingen, Math.-phys. Kl., 1906, S. 351-355.
[2] ?Grundzüge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen? Nachr. d. Kgl. Ges. d. Wiss. zu Göttingen, Math.-phys. Kl. 1096, S. 157ff., speziell S. 176-182).
[3] ?Sur une classe d’équations fonctionelles?. Acta math. 27 (1903), S. 365 ff.
[4] ?Grundzüge...?, 1. Mitteil., Nachr. d. Kgl. Ges. d. Wiss. zu Göttingen, Math.-phys. Kl., 1904, S. 49 ff.
[5] ?Grundzüge...? 5. Mitteil., Nachr. d. Kgl. Ges. d. Wiss. zu Göttingen, Math.-phys. Kl., 1906, S. 439 ff.
[6] Vgl. Hurwitz, Math. Ann. Bd. 57, S. 425 ff.; Bd. 59, S. 553.
[7] F. Riesz, Comptes Rendus de l’acad. des sciences de Paris, t. 144 (1907), S. 615.?E. Fischer, ebenda, Comptes Rendus de l’acad. des sciences de Paris, t. 144 (1907), S. 1022.
[8] Die Erörterungen des Textes setzen die bekannte Theorie der Doppelreihenkonvergenz (vgl. Encykl. d. math. Wiss. I A 3, 35 (Teil I, S. 97) sowie Édition française I 4, 16 (Vol. 1, S. 249), welcher Begriffe und Namen entlehnt sind,nicht voraus.
[9] a. a. O. S. 179. Hilbert benutzt daselbst für die Faltung zweier FormenA, B die symbolische SchreibweiseA(x,\(\cdot\)) B(\(\cdot\),y); wir benutzen schon an dieser Stelle die der Schreibweise des Matri?enkalküls nachgebildeteAB, von welcher § 6 ausführlich handelt. Die Beweise der Faltungssätze vgl. a. a. O. S. 178-180. Die beiden ?Faltungssätze? entsprechen dem Hilfssatz 2, 3 und Hilfssatz 4 bei Hilbert.
[10] Übrigens ist mit den Formen von konvergenter Doppelquadratsumme die Klasse der Formen mit der in Rede stehenden Eigenschaft nicht erschöpft; vgl. Hilbert, 4. Mitteilung, S. 203 (Satz VI).
[11] 4. Mitteilung S. 200; in der 5. Mitteilung (S. 439) sagt Hilbert dafür schlechtweg ?Stetigkeit?, während er die im Text an zweiter Stelle genannte Eigenschaft als ?beschränkte Stetigkeit? bezeichnet.
[12] Vgl. Cayley, Remarques sur la notation des fonctions algébriques, J. f. Math. 50, S. 282; Frobenius, J. f. Math. 84, S. 1.
[13] Vgl. § 5, Vierte Bemerkung.
[14] Hilbert gebraucht hierfür in einem etwas anderen Zusammenhange den Ausdruck ?Resolvente? (vierte Mitt. S. 160 ff.).
[15] Vgl. O. Toeplitz, Die Jacobische Transformation der quadratischen Formen von unendlichvielen Veränderlichen, Nachr. d. Kgl. Ges. d. Wiss. zu Göttingen, Math.-phys. Kl., 1907, S. 101 ff., § 4. ? Der formale Charakter dieser Sätze bewirkt es, daß sie und mit ihnen die Problemstellungen des § 8 sich unmittelbar auch auf die finiten, zeilenfiniten etc. Systeme übertragen.
[16] Wie man diesen von einem solchen Standpunkte aus entwickeln kann, ist in Kroneckers ?Vorlesungen über die Theorie der Determinanten?, Band 1 (Leipzig 1903) durchgeführt.
[17] Die Orthogonalinvarianten quadratischer Formen von unendlichvielen Variabelen. Göttingen 1907. · JFM 38.0153.01
[18] Neue Begründung der Theorie quadratischer Formen von unendlichvielen Veränderlichen. Journ. f. Math. 136 (1909), S. 210-271. · JFM 40.0393.01
[19] Vgl. § 5, zweite und dritte Bemerkung.
[20] An dieser Stelle sind eine Reihe neuer Arbeiten zu erwähnen, welche an sich Integralgleichungen betreffen, aber, auf unendlichviele Veränderliche übertragen, einen Beitrag zur Theorie des Ähnlichkeitsproblemes (IIa) für vollstetige Formen bedeuten würden: J. Plemelj, Zur Theorie der Fredholmschen Funktionalgleichungen, Monatshefte f. Math. u. Phys. 15 (1904) S. 93. E. Goursat, Recherches sur les équations intégrales linéaires, Annales de la faculté des sciences de l’université de Toulouse, 1908, S. 6. I. Schur, Math. Ann. Bd. 66, S. 488 ff., insbesondere 501-510. · JFM 35.0775.01 · doi:10.1007/BF01692293
[21] Der erste, der eine systematische Theorie einer gewissen Klasse linearer, unendlicher Gleichungssysteme von einiger Allgemeinheit gegeben hat, ist Helge von Koch (Sur les déterminants infinis et les équations différentielles linéaires, Acta Math. 16 (1892), S. 217 ff.?insbesondere S. 245-249). Seine Auflösungsformeln, die sich aus unendlichen Determinanten aufbauen, kann man kurz durch die Bemerkung beschreiben, daß sie, auf Integralgleichungen überschrieben, in die Formeln von Fredholm übergehen. Übrigens hat Helge von Koch neuerdings (Sur la convergence des déterminants infinis, Rend. del Circ. Mat. di Palermo, 28 (2. Sem. 1909), S. 255 ff.) unter Ausdehnung seiner früheren Konvergenzeinschränkungen seine Methoden auf die Forderung konvergenter Quadratsumme und auf eine wesentlich umfassendere Teilklasse der vollstetigen Formen angewandt. · JFM 24.0292.01 · doi:10.1007/BF02418991
[22] Über die Auflösung linearer Gleichungen mit unendlich vielen Unbekannten, Rend. del. Circ. Mat. di Palermo, 25, 1. Semestre 1908, S. 53-77. · JFM 39.0407.01
[23] Die Jacobische Transformation der quadratischen Formen von unendlichvielen Veränderlichen, Nachr. d. Kgl. Ges. d. Wiss. zu Göttingen, Math.-phys. Kl., 1907, S. 101-109. · JFM 38.0156.01
[24] Über die Auflösung linearer Gleichungen mit unendlichvielen Unbekannten, Sitzungsber. d. phys.-med. Soc. in Erlangen, Bd. 40 (1908), S. 84.
[25] Vgl. § 1, Konvergenzsats über Linearformen.
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