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Sur le problème logique de l’intégration des équations différentielles. (French) JFM 41.0416.03

(Siehe JFM 41.0416.02) Verf. hat in seiner These (Ann. de l’École Norm. (3) 15, 243-384, F. d. M. 29, 349-351, 1898, JFM 29.0349.01) den Begriff der logischen Integration eines Systems von Differentialgleichungen eingeführt. Er versteht darunter eine gewisse Klassifikation der Transzendenten, die den Gleichungen genügen. In dieser früheren Arbeit ist er auch schon besonders auf die lineare partielle Gleichung: \[ (1)\quad \frac{\partial z}{\partial x}+ A_1\,\frac{\partial z}{\partial x_1}+ \cdots +A_n\,\frac{\partial z}{\partial x_n}=0 \] eingegangen. Die vorliegende Arbeit ist der erste Teil von Untersuchungen über denselben Gegenstand. Verf. behandelt die lineare Gleichung wieder mit großer Ausführlichkeit, wobei er sich zur Erläuterung im wesentlichen an die Gleichung \(\frac{\partial z}{\partial x} +A\,\frac{\partial z}{\partial y} =0\) hält. Die Elemente eines sogenannten Fundamentalsystems von Lösungen haben ein gewisses System von Relationen zu erfüllen, und es ist zu unterscheiden, ob dieses System im Sinne des Verf. irreduktibel ist oder nicht. Im ersteren Falle nimmt Verf. die gegebene Gleichung allgemein und führt aus, inwiefern alle Fundamentalsysteme Transzendenten von derselben Natur sind. Im zweiten Falle muß zwischen den verschiedenen Fundamentalsystemen unterschieden werden. Durch Hinzufügen neuer Gleichungen zu den Relationen, die ein Fundamentalsystem erfüllen muß, wird ein System \((S)\) gebildet, das man als irreduktibel annehmen kann. Den verschiedenen Fundamentalsystemen entsprechen dann aber verschiedene Systeme \((S)\). Es wird erklärt, wie man dasjenige System findet, das man als das einfachste ansehen kann, und man gelangt so zu den Systemen, die irreduktibel regulär genannt werden. Jedes irreduktible reguläre System kann in einer gewissen Normalform geschrieben werden. Verf. erörtert auch hier wieder den Begriff der Rationalitätsgruppe der Gleichung (1), deren Bestimmung ein wesentlicher Bestandteil der logischen Integration ist.

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Full Text: DOI Numdam EuDML