Sur un procédé alterné. (French) JFM 41.0426.03

Goursat, E.

Toulouse Ann. (3) 1, 129-143 (1910).

Verf. beschäftigt sich hier mit einem Problem, das er früher (Toulouse Ann. (2) 5, 405-436; 6, 117-144) mit Hülfe einer Funktionalgleichung gelöst hat. Hier wird gezeigt, wie das Problem mittels eines alternierenden Verfahrens gelöst werden kann. Der Gedankengang ist der folgende: I. Es sei \(f (x, y)\) eine Funktion, die in einem Rechteck \(R: 0 \leqq x \leqq a,\;0 \leqq y \leqq \alpha a,\;\alpha >1\), stetig ist. Es wird ein Integral der Gleichung \(\frac{\partial^2z}{\partial x \partial y} = f(x,y)\) gesucht, das sich längs der Geraden \(y = x,\;y = \alpha x\), soweit sie \(R\) angehören, auf Null reduziert und in \(R\) stetig ist. Dazu werden zwei Reihen von Funktionen \((z_1, z_2, \dots ), (u_1, u_2, \dots)\) aufgestellt, die der Gleichung genügen und folgende Bedingungen erfüllen: 1. alle \(z_n\) sind Null für \(y = \alpha x\); 2. alle \(u_n\) sind Null für \(y = x\); 3. für \(y = 0\) wird \(z_1=\varphi_0(x), z_n(x,0)=u_{n-1}(x,0)= \varphi_{n-1}(x)\); 4. für \(x = 0\) wird \(u_n (0, y)=z_n(0,y)= \psi_n (y)\). Die Funktionen \(z_n, u_n\) konvergieren dann gegen eine Funktion \(z(x, y)\), die die verlangten Eigenschaften hat.
II. Die Gleichung \(\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = f (z, y, z, p, q)\) wird betrachtet, wo \(f\) in dem Gebiete \(D: 0 \leqq x \leqq a,\;0 \leqq y \leqq \alpha a,\;| z| \leqq Z,\;| p| \leqq P,\;| q| \leqq Q\) stetig ist. Es wird ein Integral dieser Gleichung gesucht, das sich längs der Geraden \(y = x,\;y =\alpha x\) auf Null reduziert und in dem Rechteck mit den Seiten \(r\) und \(\alpha r\) stetig ist, wenn \(r\) hinreichend klein genommen wird. Der gesuchten Funktion nähert man sich wie bei I durch eine doppelte Reihe von Funktionen \(z_1,z_2, \dots ;\;u_1,u_2, \dots\) an, die den Gleichungen \(\frac{\partial^2 z_n}{\partial x \partial y} =f\left( x,y,u_{n-1},\,\frac{\partial u_{n-1}}{\partial x}, \frac{\partial u_{n-1}}{\partial y} \right)\), \(z_n(x,\alpha x)=0,\;z_n(x,0)= u_{n=1}(x,0)= \varphi_n (x)\) und \(\frac{\partial^2 u_n}{\partial x \partial y} =f\left( x,y,z_n,\,\frac{\partial z_n}{\partial x}, \frac{\partial z_n}{\partial y} \right)\), \(u_n(x,x)=0,\;u_n(0,y) =z_n(0,y) =\psi_n(y)\) genügen.

Reviewer: Fuchs, Prof. (Halensee)

JFM Section:

Sechster Abschnitt. Differential- und Integralrechnung. Kapitel 6. Partielle Differentialgleichungen.