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Sur la généralisation du problème de Dirichlet. Deuxième partie. (French) JFM 41.0427.02
Die vorliegende, in vier Kapitel gegliederte Abhandlung beschäftigt sich mit den Differentialgleichungen der Form \[ \begin{matrix} F(r,s,t,p,q,z,x,y)&=0,\;p=\frac{\partial z}{\partial x},\;q=\frac{\partial z}{\partial y},\;r=\frac{\partial^2z}{\partial x^2}, s=\frac{\partial^2z}{\partial x \partial y},\;t=\frac{\partial^2z}{\partial y^2}, \\ & 4F_r' F_t'-(F_s')^2>0,\;F_r'F_z'<0.\end{matrix} \]
In dem ersten Kapitel wird die spezielle Differentialgleichung \(r + t = f (x, y, z, p, q)\) betrachtet. Die Ergebnisse des ersten Teiles dieser Arbeit (Math. Ann. 62) werden präziser gefaßt und vervollständigt. Das zweite Kapitel ist der Zurückführung der allgemeinen linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung \[ A\,\frac{\partial^2z}{\partial x^2} + 2B\,\frac{\partial^2}{\partial x\partial y}+ C\,\frac{\partial^2z}{\partial y^2} +2D\,\frac{\partial z}{\partial x}+2E\,\frac{\partial z}{\partial y}+Fz=m,\;AC-B^2>0 \] auf die Normalform \[ \frac{\partial^2z}{\partial x^2_1} + \frac{\partial^2z}{\partial y^2_1} + a\,\frac{\partial z}{\partial x_1}+ b\,\frac{\partial}{\partial y_1} +cz=d \] gewidmet. In dem dritten Kapitel wird zunächst der folgende Hülfssatz bewiesen:
Es sei \(z_0\) eine dem Werte \(\alpha_0\) des Parameters \(\alpha\) entsprechende Lösung der analytischen Differentialgleichung \[ (1)\quad F(r,s,t,p,q,z,x,y,\alpha )=0, \quad F_r' F_z' \leqq 0, \] welche auf einem Kreise \(C\) um den Koordinatenursprung verschwindet und daselbst, sowie im Innern von \(C\) beschränkte Ableitungen der neun ersten Ordnungen hat. Alsdann gibt es eine positive Zahl \(\varepsilon\), so daß für alle \(\alpha\), die der Beziehung \(| \alpha -\alpha_0|<\varepsilon\) genügen, die Gleichung (1) eine im Innern des betrachteten Gebietes reguläre Lösung hat, die auf \(C\) mit \(z_0\) übereinstimmt.
Alsdann wird die spezielle Differentialgleichung betrachtet: \[ Ar+2Bs+Ct=D, \] unter \(A, B, C, D\) analytische Funktionen von \(x, y, z, p, q\) verstanden. Ist eine obere Schranke von \(| z|, | p|,| q|\) bekannt, so lassen sich obere Schranken für die partiellen Ableitungen aller Ordnungen der am Rande verschwindenden Lösung \(z\) angeben. Es gilt ferner der folgende Satz:
Es gibt für jeden Wert von \(\alpha\) zwischen \(\alpha_0\) und \(\alpha_1\) eine im Innern eines Gebietes reguläre Lösung \(z(x, y)\) der Differentialgleichung (1), die am Rande vorgeschriebene Werte annimmt, wenn es für \(\alpha =\alpha_0\) eine solche Lösung gibt, und wenn man a priori eine obere Schranke für \(z\), \(\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial^2z}{\partial x^2}, \frac{\partial z}{\partial y}, \frac{\partial^z}{\partial x \partial y}, \frac{\partial^2z}{\partial y^2}\), die nur von den auf dem Rande vorgeschriebenen Werten abhängt, angeben kann.
Das letzte vierte Kapitel enthält einige allgemeine Betrachtungen.

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References:
[1] Mathematische Annalen 62.
[2] Math. Ann. t. 62. On trouvera une démonstration plus complète dans mon mémoire russe, où la rédaction de l’énoncé du lemme est un peu différente.
[3] Voir pour cette notation mon mémoire des Math. Ann. 62, on bien p. 106 du présent travail.
[4] Je tiens à rappeller que les conditions du lemme entraînent comme conséquence la natureanalytique de la solutionz. (Voir ?Sur la nature analytique etc.? Chap. I, Math. Ann. t. 59.)
[5] Picard, Traité d’analyse, t. II, p. 27.
[6] E. Picard, ?Sur la généralisation du problème de Dirichlet?, Acta Mathematica 25.
[7] ?Sur la généralisation du problème de Dirichlet?, Math. Ann. 62, page 253.
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