Lectures on the calculus of variation. First volume. (Leçons sur le calcul des variations. Tome premier.) (French) JFM 41.0432.02

Hadamard, J.

Paris: A. Hermann et Fils. VIII + 520 S. \(4^{\circ}\) (1910).

Dieses groß angelegte Werk, von dem zunächst der erste Band vorliegt, bringt die Theorien der Variationsrechnung vielfach in durchaus origineller Form und enthält auch eine beträchtliche Anzahl sachlich neuer Resultate. Der an dieser Stelle verfügbare Raum kann es nicht gestatten, allen diesen Einzelheiten nachzugehen; es sei verwiesen auf zwei ausführliche Besprechungen, die Carathéodory diesem Werke gewidmet hat: Arch. Math. u. Phys. (3) 16 und Bull. sciences math. (2) 35. Wir beschränken uns auf eine Wiedergabe der Disposition. In einem einleitenden Kapitel wird die Theorie der Maxima und Minima von Funktionen entwickelt, und es werden die später erforderlichen Sätze aus der Theorie der Differentialgleichungen zusammengestellt. Buch I (La position du problème) entwickelt die Grundbegriffe, wie: die verschiedenen Arten des Extremums, die verschiedenen Begriffe der Nachbarschaft usw. Buch II (La variation première et les conditions du premier ordre) entwickelt das Fundamentallemma, dann für das einfachste Problem die Theorie der ersten Variation bei festen Endpunkten; sodann das einfachste Problem in Parameterdarstellung (sehr ausführliche geometrische Diskussion des räumlichen Variationsproblems bei Parameterdarstellung). Es folgt eine Diskussion der Möglichkeit, eine Extremale durch zwei gegebene Punkte zu legen. Schließlich der Fall höherer Ableitungen im Integranden. Im nächsten Kapitel wird die erste Variation bei variablen Endpunkten und der daraus sich ergebende Begriff der Transversalität erläutert, was Anlaß zu einer ausführlichen Erörterung des Zusammenhanges mit der Theorie der partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung (Jacobi-Hamiltonsche Theorie) gibt. Es folgt die Besprechung der einseitigen Variationen, der diskontinuierlichen Lösungen, der isoperimetrischen Probleme, endlich des allgemeinen Mayerschen und Lagrangeschen Problems, wo wieder der Zusammenhang mit den partiellen Differentialgleichungen ausführlich behandelt ist. Ein letztes Kapitel dieses Buches ist dem “Calcul fonctionnel” gewidmet, wie denn überhaupt der Verf. stark betont, daß die Variationsrechnung nur ein ganz spezieller Fall der “Funktionsrechnung” ist. Bei Buch III (Les conditions de l’extremum libre) tritt nun Beschränkung auf die Probleme ohne Nebenbedingungen ein; es beginnt mit Auseinandersetzung der alten Methoden (“méthode de Jacobi-Clebsch”), die durch Betrachtung der zweiten Variation ans Ziel zu kommen suchten, zunächst für den Fall einer, dann für den Fall mehrerer unbekannter Funktionen. Dann wendet sich der Verf. der Weierstraßschen Methode zu und den aus ihr sich ergebenden hinreichenden Bedingungen, um im nächsten Kapitel die notwendigen Bedingungen (die von Weierstraß und die von Jacobi) zu besprechen. Es folgt Ausdehnung auf den Fall eines variablen Endpunktes, dann zweier variablen Endpunkte, dann auf den Fall geschlossener Extremalen; endlich diskontinuierliche Lösungen, der Fall einseitiger Variation und der Fall höherer Ableitungen im Integranden. Dann wird gezeigt, daß die alten Methoden wenigstens für den Nachweis des schwachen Extremums ausreichen, und wird der Zusammenhang zwischen den Theorien der zweiten Variation und der Weierstraßschen Theorie hergestellt. Das letzte Kapitel ist dem Satze von Osgood gewidmet. In einem Anhange werden die zur Verwendung gekommenen Sätze über implizite Funktionen entwickelt.

Reviewer: Hahn, Prof. (Czernowitz)

MSC:

49-01

Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to calculus of variations and optimal control

JFM Section:

Sechster Abschnitt. Differential- und Integralrechnung. Kapitel 7. Variationsrechnung.

Keywords:

Transversality; Jacobi-Hamilton; Weierstrass’ theorem; Mayer problems; discontinuous solutions; one-sided variations; Osgood’s theorem