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Vergleichende Bemerkungen über die Reihen von Fredholm und Du Bois-Reymond. Ein Beitrag zur Bestimmung des Bereiches für analytische Funktionen einer besonderen Art. (Czech) JFM 41.0448.01
Mittag-Leffler hat bewiesen (Acta Math. 15; F. d. M. 23, 421, 1891, JFM 23.0421.01), daß die Reihe von Fredholm \(z= \sum^{\infty}_0 e^{-m^2v-m\alpha}\), als analytische Funktion von \(v\) betrachtet, einen auf die Halbebene, für welche der reale Teil von \(v\) positiv ist, beschränkten Existenzbereich hat. Sein Beweis stützt sich hauptsächlich auf die partielle Differentialgleichung \(\partial^2 z/ \partial \alpha^2 = -\partial z/\partial v\). Dieselbe Differentialgleichung erfüllt die Funktion von Du Bois-Reymond \(z= \sum^{\infty}_1 e^{-mv-a \sqrt{m}}\), von welcher aber der Verf. bewiesen hat, daß sie in der ganzen Ebene \(v\) existiert. (Siehe voriges Referat.)
Der Verf. gibt eine Methode, welche in diesen beiden und anderen ähnlichen, durch die Differentialgleichung \(\partial^2 z/ \partial \alpha^2 =k\partial z/ \partial v\) charakterisierten Fällen (wie z. B. für elliptische Thetafunktionen) den Existenzbereich zu bestimmen ermöglicht.
Reviewer: Petr, Prof. (Prag(
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