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Sulle funzioni egualmente continue. (Italian) JFM 41.0449.01

Ven. Ist. Atti 69 [(8) 12], 1103-1109 (1910).
Betrachtet man irgendeine Folge von Funktionen \[ (1)\quad f_1(x),f_2(x),\dots ,f_n(x),\dots , \] die im Intervall \((a, b)\) stetig sind, und definiert man eine Funktion \(\Omega (x)\) folgendermaßen: Es bezeichne \(\omega_n (x, \varepsilon ) (n= 1, 2, \dots , \infty )\) die Schwankung der Funktion \(f_n (x)\) in der Umgebung \(x-\varepsilon ,x+\varepsilon )\) des Punktes \(x\) in \((a, b)\), dann soll \(\Omega (x)\) die untere Grenze des größten der Limite der Folge \(\omega_1 (x,\varepsilon ), \omega_2 (x,\varepsilon ),\dots ,\omega_n (x,\varepsilon ),\dots\) bedeuten; alsdann gilt (das ist das Ziel der vorliegenden Mitteilung) der Satz: Damit eine Folge stetiger Funktionen (1) im Intervall \((a,b)\) gleichmäßig stetig sei, ist notwendig und hinreichend, daß in \((a, b)\) identisch \(\Omega (x)=0\) ist.