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On homogeneous oscillation of successions of functions. (English) JFM 41.0455.01

“Die Hauptresultate sind die folgenden: Wenn alle unteren Funktionen einer Folge untere halbstetige zur rechten (linken) sind, so sind es auch die oberen; und wenn alle oberen Funktionen obere halbstetige zur rechten (linken) sind, so sind es auch die unteren. – Wenn alle oberen oder alle unteren Funktionen stetig zur rechten (linken) sind, dann gibt es eine Folge von Funktionen, welche gleichmäßig gegen eine stetige Grenzfunktion konvergiert, und alle oberen sowie alle unteren Funktionen der Folge sind stetig. – Allgemeiner: Wenn eine Folge stetiger Funktionen gleichmäßig und homogen zur rechten (linken) oszilliert, dann sind alls oberen und alle unteren Funktionen stetig zur rechten (linken), und in jeder Teilfolge gibt es eine Folge der Funktionen, die gegen eine einzige Grenzfunktion konvergiert, welche stetig zur rechten (linken) ist, wobei die Konvergenz gegen diese Grenzfunktion überdies gleichmäßig zur rechten (linken) ist. – Als ein Korollar zu diesem letzten Theorem besteht ein anderes, das Arzelàs berühmtes Theorem als besonderen Fall umfaßt, nämlich: Wenn irgendeine positive Größe \(e\) gegeben ist und irgendein Punkt \(P\) auf dem Wege der unabhängigen Variable, so läßt sich ein Intervall \(d\) finden, und zwar dasselbe für alle Funktionen, aber im allgemeinen von \(P\) abhängig, so daß die Schwankung jeder der Funktionen innerhalb eines Intervalles von der Länge \(d\) mit \(P\) als rechtem (linkem) Endpunkte kleiner als \(e\) ist, dann folgen dieselben Schlüsse wie in dem zuletzt ausgesprochenen Theorem. – Die Abhandlung schließt mit einigen Resultaten betreffs der oberen und unteren Schranken von Folgen stetiger Funktionen.” – Hierbei ist als obere (untere) Funktion einer Folge die Funktion bezeichnet, deren Wert an jedem Punkte die obere (untere) Grenze der Folge an jenem Punkte ist.
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