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Sur l’intégration des fonctions discontinues. (French) JFM 41.0457.01

Es handelt sich darum, die Integrationstheorie des Verf. auf mehrere Veränderliche auszudehnen. Insbesondere wird die Differentiation mehrfacher Integrale untersucht. Es werden zunächst für beliebig viele Dimensionen die meßbaren Mengen definiert, ferner die meßbaren und die summierbaren Funktionen, endlich die bestimmten Integrale. Ist der Integrand gegeben, und läßt man die Menge \(E\), über die integriert wird, variieren so wird das Integral eine Funktion von \(E\) (unbestimmtes Integral \(F(E)\)). Drei für das unbestimmte Integral charakteristische Eigenschaften werden abgeleitet.
Um dann \(F(E)\) an einer Stelle \(P\) von \(E\) zu differenzieren, liegt es nahe, Quotienten \(F(E)/m(E)\) zu bilden, wo \(m(E)\) das Maß von \(E\) ist, und wo für \(E\) eine unendliche Reihe von Punktmengen einzusetzen ist, die alle \(P\) enthalten, und deren Punkte sämtlich gegen \(P\) konvergieren. Doch sieht man leicht, daß diese Mengen \(E\) noch weiteren Einschränkungen unterworfen werden müssen (“familles régulières d’ensembles”), damit der als Grenzwert der Quotienten \(F(E)/m(E)\) definierte Differentialquotient als Umkehrung der Integration gelten kann.
Dann aber ergeben sich, und zwar in allgemeinerer Form als in den bisherigen Darstellungen, die bekannten Sätze über die Ersetzung mehrfacher Integrale durch iterierte, über die Differentialquotienten der über rechteckige Gebiete erstreckten mehrfachen Integrale, ferner die sinngemäße Ausdehnung des sogenannten Fundamentalsatzes der Integralrechnung usw., wie überhaupt die Lebesguesche Theorie auch im mehrdimensionalen Gebiet ihre bekannten Vorzüge bewahrt.
Auf Einzelheiten der Resultate und Methoden hinzuweisen, ist hier kein Raum.
Eine 18 Nummern umfassende Literaturübersicht ist an den Schluß der Einleitung gestellt.

MSC:

26B15 Integration of real functions of several variables: length, area, volume
28A25 Integration with respect to measures and other set functions
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Full Text: DOI Numdam EuDML