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On term-by-term integration of oscillating series. (English) JFM 41.0457.02

Es wird eine Reihe von Sätzen über die halbstetigen Funktionen (fonctions semi-continues nach Baire) und über die Lebesgueschen Integrale gewisser Funktionenfolgen abgeleitet. Als Beispiele seien folgende Sätze besonders angeführt.
Ist \(f(x)\) in dem Intervalle \(x_1 \le x \le x_2\) gleichzeitig halbstetig rechts nach oben und halbstetig links nach unten und ist ferner \(A = f(x_1) < f(x_2) = B\), so nimmt \(f (x)\) in dem Intervalle \(x_1 \le x \le x_2\) jeden zwischen \(A\) und \(B\) gelegenen Wert an.
Es sei \(s_1 (x), s_2 (x), \dots , s_n (x),\dots\) eine in dem Intervalle \(x_1 \leqq x \leqq x_2\) erklärte unendliche Folge reeller, integrierbarer Funktionen, und es möge für alle in Betracht kommenden \(x\) und alle positiven \(n| s_n(x)| < M\) sein, unter \(M\) eine gewisse positive Konstante verstanden. Es sei \(S_n (x) =\int^x_{x_1} s_n (x) dx\). Es möge schließlich \(U(x)\) die obere, \(L(x)\) die untere Grenze aller Werte \(S_n (x)\) \(n = 1, 2, \ldots )\) bezeichnen. Die Funktion \(U(x)\) ist halbstetig rechts nach oben, die Funktion \(L(x)\) halbstetig links nach unten.

MSC:

26A42 Integrals of Riemann, Stieltjes and Lebesgue type
28A99 Classical measure theory
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