×

zbMATH — the first resource for mathematics

Leçons sur la théorie de la croissance. Recueillies et rédigées par A. Denjoy. (French) JFM 41.0459.02
Paris: Gauthier-Villars. VI + 168 S. \(4^{\circ}\) (1910).
Zu den sechs Bänden funktionentheoretischer Vorlesungen, die Borel seit 1898 veröffentlichte, und die in hohem Maße belehrend und anregend gewirkt haben, ist nach längerer Pause dieser siebente Band hinzugekommen. Wie der Verf. in der Vorrede bemerkt, hätte er der logischen Ordnung nach der erste sein müssen; denn die Lehre vom Wachstum ist, wie sich immer deutlicher herausstellt, eine wesentliche Grundlage der Funktionentheorie und wird daher bei den zukünftigen Darstellungen dieser Lehre die Rolle einer Einleitung spielen müssen, auf deren Ergebnisse man sich beständig stützt. Ohne Zweifel werden sich hieraus beträchtliche Vereinfachungen ergeben; es wird aber auch die Einführung neuer Namen und neuer Bezeichnungen notwendig werden, und man wird daher gut tun, zu warten, bis die Lehre vom Wachstum eine Gestalt angenommen hat, die Dauer verspricht. Einen erheblichen Fortschritt nach dieser Richtung bedeutet das vorliegende Werk von Borel, der mit bewährter Meisterschaft die zerstreuten Ergebnisse zahlreicher Untersuchungen, eigener und fremder, in einheitlicher Darstellung verschmolzen hat.
In der Einleitung wird der Begriff des Wachstums dargelegt und der Zweck der Lehre vom Wachstum dahin bestimmt, daß für eine Folge von Größen der Wert eines Gliedes mit seiner Stellenzahl, für eine Funktion ihr Wert mit dem zugehörigen Werte der unabhängigen Veränderlichen verglichen werden soll, wenn Stellenzahl oder unabhängige Veränderliche unbegrenzt wachsen.
Das erste Kapitel beginnt mit der Betrachtung gewisser fundamentaler Typen von wachsenden Funktionen, nämlich der Potenzen \(x^n\) von \(x\) und der Exponentialfunktion \(e^x\), denen als Zeichen für die Ordnung des Wachstums die Symbole \(n\) und \(\omega\) umkehrbar eindeutig zugeordnet werden. Sind jetzt \(a_1, a_2, \dots ,a_p\) die Ordnungen des Wachstums für die Funktionen \(f_1, f_2, \dots ,f_p\), und entsteht aus diesen durch eine gewisse Operation \(U\) die Funktion \(F\), der eine Ordnung des Wachstums \(A\) zukommt, so wird man die Operation \(U'\) untersuchen, die \(A\) aus \(a_1, a_2, \dots ,a_p\) hervorgehen läßt. Wenn man sich auf die Funktionen beschränkt, die aus den fundamentalen Funktionen \(x^n\) und \(e^x\) sowie willkürlichen Konstanten durch eine endliche Anzahl der Operationen: Addition, Multiplikation, Iteration, Inversion und Zusammensetzung erzeugt werden, so ergeben sich die zugehörigen Ordnungen durch eine endliche Anzahl von “Additionen”, “Subtraktionen”, “Multiplikationen” und “Divisionen” aus den Zeichen \(n\) und \(\omega\). Die genannten “Operationen” haben den üblichen Sinn, sobald sie sich auf Ordnungszahlen beziehen, die arithmetische Zahlen sind, bedürfen jedoch einer eigenen Erklärung, sobald das transfinite Zeichen \(\omega\) darin auftritt; zum Beispiel verliert die “Multiplikation” die Eigenschaft, kommutativ zu sein, weil das Zeichen \(\omega n\) die Ordnung von \(e^{x^n}\), das Zeichen \(n \omega\) aber die Ordnung von \(e^{nx}\) angibt. Wie Paul Du Bois-Reymond auf Grund eines Abelschen Gedankens gezeigt hat, gibt es Funktionen, die rascher, und auch Funktionen, die langsamer wachsen, als alle Funktionen der auf die genannte Art erklärten Funktionenklasse; die vorliegende Theorie ist also nicht fertig. Allein man muß irgendwo einen Schnitt machen; denn es kann keine abgeschlossene Theorie geben. Allerdings ist die betrachtete Klasse von Funktionen zu beschränkt, als daß sie für die Anwendungen genüge; sie gibt vielmehr so zu sagen nur Muster, nach denen das Verhalten anderer Funktionen beurteilt werden kann. Hiermit kommen wir zum zweiten Kapitel.
Wenn die Ordnungszahlen zweier Funktionen identisch sind, so sind auch die Funktionen identisch; denn die Zeichen für die Ordnungen des Wachstums waren den Funktionen umkehrbar eindeutig zugeordnet. Dagegen sollen die Ordnungen zweier Funktionen \(f_1\) und \(f_2\) gleich heißen, falls das Verhältnis von \(f_1\) zu \(f_2\) (und damit auch das Verhältnis von \(f_2\) zu \(f_1\)) bei unbegrenzt wachsendem \(x\) zwischen Unbestimmtheitsschranken bleibt, die von Null und Unendlich verschieden sind; zum Beispiel ist die Ordnung der Funktion \(h (x) \cdot x^n\) gleich der Ordnung von \(x^n\), also gleich \(n\), falls die Funktion \(h (x)\) bei unbegrenzt wachsendem \(x\) zwischen zwei Schranken \(A\) und \(B\) liegt, die von Null und Unendlich verschieden sind. Wenn das Verhältnis von \(f_1\) zu \(f_2\) der Grenze Unendlich (Null) zustrebt, soll die Ordnung von \(f_1\) größer (kleiner) als die Ordnung von \(f_2\) heißen. Gibt es keine solche Grenze, und ist eine der Unbestimmtheitsschranken Null oder Unendlich, so verlieren die Begriffe gleich, größer und kleiner ihre Anwendbarkeit, und die relative Größenordnung von \(f_1\) zu \(f_2\) bleibt unbestimmt. Wie einfache Beispiele zeigen, kann es vorkommen, daß die Ordnung einer Funktion \(f\) kleiner als \(n + \varepsilon\), aber größer als \(n - \varepsilon\) ist, wo \(\varepsilon\) eine beliebig kleine positive Größe bedeutet. Es läge nahe, in solchen Fällen zu sagen, die Ordnung von \(f\) sei gleich \(n\), jedoch würde alsdann der Satz: Wenn zwei Ordnungen einer dritten gleich sind, so sind sie einander gleich, seine Geltung verlieren, und es muß daher entweder festgesetzt werden, daß die Ordnung von \(f\) nur äquivalent \(n\) ist oder dafür ein neues Symbol \((n)\) eingeführt werden.
Mit den Ordnungszeichen für angenähertes Wachstum, denen Klassen von Funktionen entsprechen, kann man fast genau ebenso rechnen, wie mit den Zeichen für genaues Wachstum, denen immer nur eine einzige Funktion entspricht. Es folgt die Erklärung des sogenannten regulären Wachstums.
Bei den Anwendungen wird häufig nach den Ordnungen der Funktionen gefragt, die sich aus einer gegebenen Funktion durch Differentiation oder Integration ergeben (drittes Kapitel). Aus der Kenntnis des angenäherten Wachstums allein läßt sich bekanntlich nichts über den Verlauf des Differentialquotienten, also auch nichts über die Ordnung seines Wachstums erschließen; wenn man jedoch auf irgendeinem Wege Kenntnis von der sogenannten Regularität der Ableitung erlangt hat, so ergeben sich Sätze, die sich für die Anwendungen, in denen diese Voraussetzung vielfach erfüllt ist; als wertvoll erweisen.
Das vierte und fünfte Kapitel enthalten analytische und arithmetische Anwendungen. Es werden zunächst Reihen mit konstanten positiven Gliedern untersucht. Die Ergebnisse führen zu bemerkenswerten Annäherungsformeln für die Gammafunktion, bei der die Beziehung zwischen dem Wachstum der Funktion und dem Wachstum ihrer Nullstellen untersucht wird. Dieselbe Frage wird allgemeiner für unendliche Produkte behandelt, unter der Voraussetzung, daß es sich um reguläres Wachstum handelt. Bei den arithmetischen Anwendungen ist das Ziel, einen Anfang mit einer Klassifikation der irrationalen Zahlen zu machen, die über die Unterscheidung algebraischer und transzendenter Zahlen hinausgeht; man kann sagen, daß eine Zahl um so transzendenter ist, je besser man sich ihr durch rationale Zahlen nähern kann. Auch die Annäherung an algebraische Zahlen durch ebensolche Zahlen niedrigerer Ordnung wird behandelt, und für die Annäherung der Zahl \(e\) durch algebraische Zahlen ein Satz hergeleitet, der eine wichtige Ergänzung des Beweises für die Transzendenz von \(e\) bildet. Hierbei begegnet sich Borel mit den schönen Untersuchungen von A. Thue, über die S. 129 dieses Bandes berichtet ist.

Full Text: Link