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Sur les produits canoniques d’ordre infini. (French) JFM 41.0462.02

(Siehe JFM 41.0462.01) Für die ganzen Funktionen endlicher Ordnung ist in den letzten Jahren durch die Arbeit vieler Mathematiker ein Lehrgebäude entstanden, das durch seine Schönheit und die Reichhaltigkeit seines Inhalts die allgemeine Bewunderung erregt hat; die meisten der dort benutzten Beweisverfahren versagten jedoch bei den Funktionen unendlich hoher Ordnung. In dieses weitere Gebiet ist nun Blumenthal mit glücklichem Erfolge eingedrungen. Als hauptsächliches Beweismittel benutzt er die von ihm ausgebildete Lehre von den “Vergleichsfunktionen”. Ist \(w (x)\) irgendeine Funktion der positiven Veränderlichen \(x\), und ist \(\lim_{x=\infty} w (x) = \infty\), so existieren Vergleichsfunktionen \(T(x)\) mit folgenden Eigenschaften. \[ \begin{aligned} (1)\quad & T(x') \leqq (T (x))^{1+ \varepsilon}\;\text{für}\;x'=x^{1+\frac{1}{(Tx)}\varepsilon},\\ (2)\quad & T (x) \geqq w(x)\;\text{für alle}\;x,\\ (3)\quad & T(x) < (w(x))^{1+\delta}\;\text{für unendlich viele, darunter beliebig große}\;x.\end{aligned} \] Dabei sind \(\delta\) und \(\varepsilon\) passend gewählte Funktionen von \(x\), die mit \(1/x\) verschwinden.
Ist nun \(M(r) = \max\text{lg}| F(x)|\) und \(\mu (r)\) die zugehörige Vergleichsfunktion, sind ferner \(a_1, a_2, \dots\) die Nullstellen von \(F (x)\), \(\sigma (n) = \frac{\text{lg}n}{\text{lg}| a_n|}\), \(\varrho (x)\) die zu \(\sigma (x)\) gehörige Vergleichsfunktion, dann ist \[ \text{(a)} \quad \sigma (n)<\mu (| a_n|)^{1+\delta}. \]
Geht man andrerseits von den Nullstellen \(a_1, a_2, \dots\) aus, und bildet man das sogenannte kanonische Produkt: \[ F(x)=\prod^{\infty}_1 n E_{p_n} \left( \frac{z}{a_n} \right), \] wo, wie üblich, \(E_p(u)\) für \((1-u)e^{\frac {u}{1}+\frac{u^2}{2} +\cdots +\frac{u^p}{p}}\) gesetzt ist, und wo \(p_n = [\varrho (n)^{1+2\varepsilon}]\) gewählt wurde, dann ist \[ \text{(b)} \quad M(r)<(\varrho (r))^{1+\delta}. \] Die Ungleichungen \((a)\) und \((b)\) sind Übertragungen bekannter Sätze aus der Theorie der Funktionen endlicher Ordnung. Nachdem dann noch bewiesen wurde, daß im allgemeinen \(\text{min}\text{lg}| F (x)|\) von derselben Größenordnung ist wie - \(\text{max}\text{lg}| F (x)|\), macht der Beweis des Picardschen Satzes für Funktionen beliebiger Ordnung keine Schwierigkeit. Auf viele bemerkenswerte Einzelheiten des Blumenthalschen Buches, insbesondere seine mannigfachen Anregungen zu neuen Untersuchungen, kann hier leider nicht eingegangen werden.
Von den zwei Noten des Anhanges ist die erste den Vergleichsfunktionen gewidmet, die andere den Primfaktoren \(E_p (u)\); Blumenthal beweist hier die einfache und hübsche Formel: \(| E_p (u)| < e^{| u|^{p+1}}\) für alle \(u\), mit deren Veröffentlichung ihm freilich Denjoy zuvorgekommen ist.
Die große Abhandlung Denjoys behandelt nur ein Stück aus der Theorie der ganzen Funktionen unendlich hoher Ordnung, aber das schwierigste und darum wichtigste Stück, nämlich die Abschätzung kanonischer Produkte \(F(x) = \prod^\infty_1 n E_{p_n} \left( \frac{x}{a_n} \right)\) zugleich mit der Aufgabe, bei gegebenen \(| a_1|, | a_2|,\dots\) die \(p_n\) so zu bestimmen, daß die Größenordnung von \(M(r)\) möglichst niedergehalten wird.
Seine Abschätzungen sind von bewundernswerter Genauigkeit; ich kann leider auch von dieser Abhandlung, in der nicht nur eine Riesenarbeit steckt, sondern zu deren genauerem Studium auch sehr viel Zeit nötig wäre, nur ein oder zwei Hauptresultate als Beispiel anführen:
Denjoy schreibt \(x_n\) für \(\text{lg}| a_n|\), \(y_n\) für \(\text{lg} n\) und ersetzt diese nur für auseinander liegende Werte von \(x\) definierte Funktion \(y(x)\) ähnlich wie Blumenthal durch eine stetige Funktion von gewisser Regelmäßigkeit des Anwachsens, doch sind die von ihm der Funktion \(Y(x)\) auferlegten Bedingungen ganz andere als bei Blumenthal; etwas allgemeinere als die im folgenden beispielsweise angegebenen: \[ \begin{aligned} (1)\quad &Y(x_n) \geqq y_n\;\text{für alle}\;n, \\ (2)\quad &Y(x_n)=y_n\;\text{für unendlich viele}\;n, \\ (3)\quad &Y''(x)>0, \\ (4)\quad &\lim_{x=\infty} \frac{Y'' \left(x+\frac{1}{\sqrt{Y''(x)}}\right) }{\sqrt{Y''(x)}}=1.\end{aligned} \] Wählt man dann noch \(p_n = [Y'(x_n)]\), so ist \[ \text{lg}| (Fx)|<e^Y \left[ (2+\delta )\left(\text{lg} \frac{Y'}{\sqrt{Y''}} + \frac{\sqrt{\pi}}{2}\,\frac{1}{\sqrt{Y''}} \right) +\delta x^2 \right]. \] Andrerseits kann man in \(a_n =| a_n| e^{i \vartheta_n}\) die Winkel \(\vartheta_1, \vartheta_2, \dots\) so bestimmen, daß bei der obigen oder irgendeiner andern Wahl der \(p_n\) auf unendlich vielen Kreisen \(| x| =\) const. die Ungleichung \[ M(r)> e^Y(2-\alpha )\left( \text{lg}\,\frac{Y'}{\sqrt{Y''}} + \frac{\sqrt{\pi}}{2}\,\frac{1}{\sqrt{Y''}} \right) \] gilt.
Besonders für schon von vornherein ziemlich regelmäßig anwachsende \(| a_n|\), z. B. \(| a_n|=(\text{lg} n)^k\), bedeutet dies eine sehr genaue Abschätzung. Über die Tragweite der Denjoyschen und der Blumenthalschen Methode wären vergleichende oder vielmehr die Vorzüge beider ausnutzende Untersuchungen wünschenswert; vgl. die Bemerkungen Blumenthals auf S. 83-88 seines Buches; dieser Stelle ist auch der hier gegebene Auszug aus den Ergebnissen Denjoys entnommen.
Das erste Kapitel Denjoys (S. 1-39) bildet für sich ein Ganzes und gibt eine eingehende Untersuchung des Primfaktors \(E_p (u)\); ich erwähne folgendes Ergebnis:
Ist \[ \begin{matrix}\l & \quad \l & \quad \l\\ G(r)=\frac{r^{p+1}}{(p+1)(1-r)} & \text{für}& 0<r\leqq 1-\frac {1}{p}, \\ G(r)=r^{\tau}, & \;" & 1-\frac{1}{p} <r \leqq 1+\frac{1}{p}\;(p<\tau <p+1), \\ G(r)=\frac{r^{p+1}}{p(r-1)} & \;" & r>1+\frac{1}{p},\end{matrix} \] so bleibt \(\frac{\max_{| u|=r} \text{lg}| E_p(u)|}{G(r)}\) unter einer Grenze, die weder von \(r\) noch von \(p\) abhängt.

Citations:

JFM 41.0462.01
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