Contribution à l’étude de la représentation d’une fonction arbitraire par des intégrales définies. JFM 41.0472.01

Plancherel, M.

Palermo Rend. 30, 289-335 (1910).

Den Entwicklungen einer reellen Funktion \(f (x)\) einer reellen Veränderlichen \(x\) nach orthogonalen Funktionen: \[ f(x)=\sum^{\infty}_{n=1} C_n\varphi_n(x),\quad C_n=\int^1_0f(x)\varphi_n(x)dx \] lassen sich die Entwicklungen solcher Funktionen durch bestimmte Integrale an die Seite stellen, bei denen man Darstellungen der Form \[ f(x)=\int^B_A d\mu \varphi (x,\mu )\int^b_a f(t)\varphi (t,\mu )dt \] erhält, und nachdem die Theorie der linearen Integralgleichungen hinreichende Bedingungen für die Entwickelbarkeit einer Funktion in Reihen nach orthogonalen Funktionen geliefert hatte, war zu erwarten, daß diese sich auch dem benachbarten Gebiete als nützlich erweisen würde. Dies ist in der Tat der Fall. Allerdings besitzen die Kerne der Integralgleichungen so hohe Singularitäten, daß die Fredholmsche Lösungsmethode auf sie nicht mehr anwendbar ist. Die neueren Untersuchungen über singuläre Integralgleichungen gestatten jedoch Schlüsse auf die Struktur der Funktionen \(\varphi (x,\mu )\) und die Eigenschaften der beiden Transformationen, die durch den Integralausdruck für \(f (x)\) definiert werden. Der Verf., der den Gegenstand schon früher behandelt hatte (F. d. M. 40, 407-408, 1909, JFM 40.0407.04), gibt jetzt eine zusammenfassende Dasstellung, bei der indessen der Zusammenhang mit den Integralgleichungen erst nachträglich hergestellt wird.

Reviewer: Stäckel, Prof. (Karlsruhe)

JFM Section:

Siebenter Abschnitt. Funktionentheorie. Kapitel 1. Allgemeines.

Citations:

JFM 40.0407.04

References:

[1]	H. Lebesgue,Leçons sur ľintégration et la recherche des fonctions primitives (Paris, Gauthier-Villars, 1904).
[2]	E. Schmidt,Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen. I. Theil:Entwicklung willkürlicher Funktioncn nach Systemen vorgeschriebener [Mathematische Annalen, Bd. LXIII (1907), pp. 433–476]. · JFM 38.0377.02
[3]	H. Weyl,über die Konvergen, von Reihen, die nach Orthogonalfunktionen fortschreiten [Mathematische Annalen, Bd. LXVII (1909), pp. 225–245]. Voir aussi:F. Jerosch undH. Weyl,über die Konvergenz von Reihen, àie nach periodischen Funktionen fortschreiten [Mathematische Annalen, Bd. LXVI (1909), pp. 67-80].
[4]	A. Haar,Zur Théorie der orthogonalen Funktionensysteme (Inaugural-Dissertation, Göttingen 1909). · JFM 40.0475.08
[5]	Sur la puissance des systèmes orthogonaux de fonctions continues [Comptes rendus hebdomadaires des séances de ľAcadémie des Sciences (Paris), t. CXLIII (2e semestre 1906), pp. 955-957].
[6]	l. c. 3), page 243.–Voir aussi:F. Riesz,Sur les suites de fonctions mesurables [Comptes rendus hebdomadaires des séances de ľAcadémie des Sciences (Paris), t. CXLVIII (1er semestre 1909), pp. 1305-1305].
[7]	Presque partout signifiera constamment dans ce travail: excepté, au plus, pour les points ďun ensemble de mesure (linéaire ou superficielle, suivant les cas) nulle. A ce point de vue, deux fonctions, presque partout égales, possèdent les mêmes coefficients de Fourier; nous les considérerons comme identiques. Il est donc à noter que les égalités ou les relations entre fonctions que nous pourrons démontrer doivent être prises dans ce sens seulement : qu’elles sont vraies presque partout.
[8]	Du théorème de Weyl découlent, sans autre, les résultats donnés parM. Lauricella dans la Note:Sopra gli sviluppi in serie di funzioni ortogonali [Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, t. XXIX (1er semestre 1910), pp. 155–163].
[9]	F. Riesz,Sur les systèmes orthogonaux de fonctions [Comptes rendus hebdomadaires des séances de ľAcadémie des Sciences (Paris), t. CXLIV (1er semestre 1907), pp. 615–619];E. Fischer,Sur la convergence en moyenne [Ibid., t. CXLIV (Ier semestre 1907), pp. 1022-1024].
[10]	Sur les systèmes orthogonaux ie fonctions et ľéquation de Fredholm [Comptes Rendus hebdomadaires des séances de ľAcadémie des Sciences (Paris), t. CXLIV (Ier semestre 1907), pp. 734-736].
[11]	Sur quelques applications géométriques des séries de Fourier [Annales scientifiques de ľécole Normale supérieure (Paris), 3e série, t. XIX (1902), pp. 357–408].
[12]	Voir, pour la légitimité de cette interversion:G. Fubini,Sugli integrali multipli [Rendiconti della R. Accademia dei Lincei, vol. XVI, I{\(\deg\)} semestre 1907, pp. 608–614].
[13]	VoirA. Haar, 1. c. 4).
[14]	Sur une classe ďéquations fonctionnelles [Acta Mathematica, t. XXVII (1903), pp. 365-390]. · JFM 34.0422.02
[15]	H. Weyl,Singuläre Integralgleichungen [Mathematische Annalen, Bd. LXVI (1909), pp. 273–324] ;M. Plancherel,Note sur les équations intégrales singulières [Rivista di Fisica, Matematica e Scienze Naturali, vol. XIX (10 semestre 1909), pp. 37-53].
[16]	E. Hellinger,Die Orthogonalinvarianten quadratischer Formen von unendlichvielen Variàblen (Inaugural-Dissertation, Göttingen 1907);Neue Begründung der Theorie quadratischer Formen von unendlichvielen Verànderlichen [Journal fur die reine und angewandte Mathematik, Bd. CXXXVI (1909), pp. 210-271]. · JFM 40.0393.01
[17]	H. Weyl, 1. c. 15).
[18]	H. Weyl, 1. c. 15), page 314.
[19]	Les systèmes orthogonaux [ p (S)] [{\(\psi\)} p ({\(\mu\)})]trouvés sont des systèmes fermés; ils ont de plus la propriété de pouvoir, par des combinaisons linéaires, approcher uniformément toute fonction continue. Le théorème IV de ma Note:Sàtçe über Système beschränkter Orthogonalfunktionen [Mathematische Annalen, Bd. LXVIII (1910), pp. 270-278] leur est donc applicable. On en déduit que la formule de Fourier est applicable à une classe de fonctions plus étendue que la classe des fonctions de carré sommable.
[20]	E. HiLB,über Integraldarstellungen willkürlicher Funktionen [Mathematische Annalen, Bd. LXVI (1909), pp. 1–66];H. Weyl,über gewöhnliche Differentialgleichungen mit Singularitàten una die zugehörigen Entwicklungen willkürlicher Funktionen [Mathematische Annalen, Bd. LXVIII (1910), pp. 220-269].
[21]	J’ai démontré {Integraldarstellungen willkürlicher Funktionen [Mathematische Annalen, Bd. LXVII (1909), pp. 519-534]}, sous des coaditions très larges la convergence des intégrales de Hilb. J’y supposais que les coefficients de ľéquation différentielle étaient des fonctions analytiques. Cette restriction est inutile [voir pour cela:H. Weyl, l. c. 21), page 266]. Les résultats subsistent entièrement si ľon supposep(s) \(\frac{{dp}}{{ds}}\) , q (s) continus et p (s) o.
[22]	Ceci pour obtenir la plus grande extension possible dans ľapplication du théorème de convergence en question.