×

zbMATH — the first resource for mathematics

Sur les fonctions triplement périodiques de deux variables. () JFM 41.0492.02
Aus den doppeltperiodischen Funktionen einer Veränderlichen entspringen durch Ausartung einfachperiodische Funktionen, die im wesentlichen auf die trigonometrischen Funktionen zurückkommen. Es lag daher nahe, die dreifachperiodischen Funktionen von zwei Veränderlichen zu untersuchen, die durch Ausartung aus den vierfach periodischen Funktionen entspringen, indessen war diese Frage bisher nur gestreift worden. Auf Anregung von Appell hat der Verf. eine umfassende Darstellung dieses Gegenstandes gegeben.
In der Einleitung wird das Periodensystem betrachtet. Es folgt im ersten Teil die Untersuchung der Nullstellen, wobei sich eine Ungleichheitsbedingung für eine zu dem Periodensystem gehörige Invariante ergibt, die den Riemannschen Ungleichheitsbedingungen in der Theorie der Abelschen Funktionen entspricht. Nachdem ein allgemeiner analytischer Ausdruck für die meromorphen dreifachperiodischen Funktionen aufgestellt worden ist, wird im zweiten Teil eine besondere Klasse dieser Funktionen untersucht, die vom Verf. als semirational bezeichnet werden. Diese semirationalen Funktionen lassen sich als Analogon der trigonometrischen Funktionen für das Gebiet von zwei Veränderlichen bezeichnen. Es gilt nämlich der folgende bemerkenswerte Satz: Wenn eine meromorphe Funktion von den beiden Veränderlichen \(x\) und \(y\) drei Periodensysteme zuläßt und kein davon verschiedenes Periodensystem, und wenn zwischen der Funktion und ihren beiden ersten partiellen Ableitungen eine algebraische Gleichung besteht, so läßt sich die Funktion, nachdem nötigenfalls noch eine lineare Transformation der Veränderlichen vorgenommen ist, als rationale Funktion von \(y\) darstellen, deren Koeffizienten Thetafunktionen von \(x\) sind; eine solche Funktion ist eben eine semirationale. Der Satz gilt übrigens nur im allgemeinen, es müssen nämlich gewisse Periodensysteme ausgeschlossen werden; die zulässigen Periodensysteme lassen sich dadurch kennzeichnen, daß es möglich ist, sie durch eine lineare Transformation der Veränderlichen auf die Form zu bringen: \[ (2i\pi ,0),\;(0,2i\pi ),\;(\lambda_1+i\mu_1,\lambda_2+i\mu_2), \] wo mindestens eine der Größen \(\lambda_1\) und \(\lambda_2\) von Null verschieden ist und zwischen \(a = \lambda_1 + i\mu_1,\;b=\lambda_2 + i\mu_2\) und \(2i\pi\) keine lineare, homogene Relation mit ganzzahligen Koeffizienten besteht.

PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI
References:
[1] Sur les questions traitées dans cette introduction on pourra consulter entre autres travaux: le Mémoire deM. Appell Sur les fonctions périodiques. (Journal de Liouville 1891). –Un mémoire deM. Poincaré Sur les fonctions abéliennes (American Journal); enfin notre Mémoire sur les fonctions périodiques (Annales de l’Ecole normale supérieure 1902) et notre Note (Société des Sciences physiques de Bordeaux 1903).
[2] Car parmi les homologues d’un piont (x, y) relativement aux trois systèmes de périodes (0, 2i\(\pi\)), (\(\omega\)1,i\(\beta\) 1), (\(\omega\)2,i\(\beta\) 2) il y en a \(\delta\) qui sont distincts relativement aux trois systèmes de périodes (0, 2\(\eta\)i\(\pi\)), (\(\Omega\)1,iB 1), (\(\Omega\)2,iB 2).
This reference list is based on information provided by the publisher or from digital mathematics libraries. Its items are heuristically matched to zbMATH identifiers and may contain data conversion errors. It attempts to reflect the references listed in the original paper as accurately as possible without claiming the completeness or perfect precision of the matching.