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Memoir on hyperelliptic surfaces. II. (Mémoire sur les surfaces hyperelliptiques. II.) JFM 41.0522.01
Über den ersten Teil dieser Abhandlung wurde in F. d. M. 40, 684, 1909, JFM 40.0684.01 berichtet. Wie am Schlusse jenes Berichtes angeführt wurde, handelt es sich in diesem zweiten Teil um die genauere Untersuchung der elf birational verschiedenen Familien, in welche diejenigen regulären hyperelliptischen Flächen vom Rang \(r > 1\) und vom Divisor \(\delta = 1\) zerfallen, die eine Parameterdarstellung durch irreduzible Thetafunktionen zulassen. Diese elf Familien waren im ersten Teile durch gewisse Gruppen von Transformationen \(r\)-ter Ordnung auf der Jacobischen Fläche charakterisiert worden. Das Ziel des zweiten Teiles besteht darin, daß für jeden der Typen II bis XI (der erste Typus führt auf die Kummersche Fläche und ist schon im ersten Teil erledigt) eine Fläche konstruiert wird, auf welche jede hyperelliptische Fläche von dem betrachteten Typus durch birationale Transformationen zurückgeführt werden kann. Diese Musterflächen sind solche von der Ordnung \(2r\) im Raum von der Dimen \(r + 1\). Die Verf. gehen bei jedem der zehn Typen aus von der zugehörigen Transformationsgruppe, konstruieren dann die Musterfläche \(\Phi_{2r}\), bestimmen die Anzahl und Art ihrer singulären Punkte und singulären Hyperebenen (d. h. solche, die die Fläche nach rationalen Kurven berühren), geben die Konfiguration dieser Punkte und Hyperebenen an und berechnen Ordnung und Geschlecht der durch beliebige Hyperebenen erzeugten Schnitte. Ferner wird gezeigt, daß jede dieser Flächen unter den andern Flächen derselben Ordnung und desselben Geschlechts des \(S_{r+1}\) durch die Konfiguration ihrer singulären Punkte und Hyperebenen charakterisiert ist. Außerdem ergibt sich bei jedem Typus noch eine Reihe von andern interessanten Resultaten, deren Aufzählung hier zu weit führen würde. Endlich wird gezeigt, daß man jede der Flächen \(\Phi_{2r}\) auf verschiedene Arten aus dem Raum \(S_{r+1}\) projizieren kann in eine Fläche von der Ordnung 4 im gewöhnlichen Raum oder in eine Fläche von der Form \(z^2 = f (x, y)\), wo \(f (x, y) = 0\) eine Kurve sechster Ordnung ist. Die charakteristische Konfiguration der singulären Punkte und Ebenen zeigt jedoch hier keine so vollständige Symmetrie wie bei den Flächen \(\Phi_{2r}\) im Raume \(S_{r+1}\). Zu diesen Sätzen werden einige Beispiele gegeben. Am Schluß befindet sich ein ausführliches Inhaltsverzeichnis über beide Teile der Abhandlung.

MSC:
14J29 Surfaces of general type
14J27 Elliptic surfaces, elliptic or Calabi-Yau fibrations
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References:
[1] Voir p. eAppell etGoursat, Théorie des fonctions algébriques. – (Paris, Gauthier Villars, 1895) no 88.
[2] Cfr.Enriques “Ricerche...{” (l. c. V. 5).}
[3] Cfr.Enriques “Ricerche...{” l. c. III, 6.}
[4] C. Segre “Sulle varietà cubiche dello spazio a 4 dimensioni...{” Memorie Accad. Torino, s. II, t. 39 (1888).} · JFM 20.0662.01
[5] G. Castelnuovo “Sulle congruenze, del 3o ordine dello spazio a 4 dimensioni{”. II. Memoria Atti Istituto Veneto t. VI, s. 6 (1888).}
[6] Bolza “American Journal{” 1888.}
[7] Voir p. e.Humbert, Journal de Math., 1893, pag. 40.
[8] VoirHermite, Comptes rendus 1855, t. 40, p. 366.
[9] En effet le genre des sections hyperplanes étant {\(\pi\)}’, on en déduit {\(\pi\)}’=r (pg>0); cette égalité ne saurait subsister s’il y avait sur la surface des courbes exceptionnelles parce qu’en ce cas on aurait {\(\pi\)}’>r.
[10] Le calcul de la dimension se fait tont de suite car on connait le genre de la surface renfermant |{\(\Gamma\)}|.
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