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Über Beziehungen zwischen kubischen Raumkurven. (German) JFM 41.0629.01

Der Artikel enthält eine Zusammenstellung einer Reihe von Sätzen über das System zweier kubischen Raumkurven \(k^3,l^3\). Ein Teil dieser Sätze findet sich in verschiedenen Abhandlungen zerstreut, mehrere sind neu. Insbesondere wird an die drei Fragen angeknüpft: 1) Wie viele gemeinsame Bisekanten haben \(k^3,l^3\) (im allgemeinen)? 2) Wie viele gemeinsame Schmiegungsstrahlen (Strahlen, die die Raumkurve in einem Punkte schneiden und in der zugehörigen Schmiegungsebene liegen)? 3) Wie viele Bisekanten von \(k^3\) sind zugleich Biplanaren (Geraden, die in zwei Schmiegungsebenen liegen) von \(l^3\). Die gesuchten Zahlen sind (im allgemeinen Falle) 10, 18, 6. Die Fälle, in denen diese Anzahlen überschritten werden – und es gibt dann immer \(\infty^1\) Geraden der in Rede stehenden Art – werden diskutiert. Andere Untersuchungen beziehen sich auf die Fälle, daß \(k^3\) und \(l^3\) 1, 2 oder 3 Punkte gemein haben.
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References:

[1] Cremona beweist 1861 (in Crelles Journal Bd. 60, Seite 191) diesen Satz für den Fall, daß eine der beiden Raumkurven in eine Gerade und einen Kegelschnitt zerfällt. Vollständige Beweise auf analytischer Grundlage gaben R. Sturm 1869 in den Annali di Matematica Bd. 3, S. 28 und Th. Reye 1876 in Crelles Journal Bd. 82, S. 78.
[2] Reye in Crelles Journal Bd. 82, S. 79.
[3] Rgl. Reye in Crelles Journal Bd 104, S. 229 und Geometrie der Lage III, 4. Aufl., S. 239.
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