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Sur les surfaces définies au moyen de leur courbure moyenne ou totale. (French) JFM 41.0692.05
Die Arbeit ist mehr funktionentheoretischen als geometrischen Inhalts. Der Verf. hat früher eine Reihe von Kriterien aufgestellt für die Lösbarkeit des Dirichletschen Problems bei partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung vom elliptischen Typus. Diese Kriterien wendet er speziell an auf die Bestimmung von Flächen gegebenen Krümmungsmaßes bei gegebenen Grenzbedingungen. Es seien folgende Schlußresultate notiert, wobei unter regulärer Lösung \(z = f (x, y)\) des Dirichletschen Problems eine solche verstanden ist, deren Ableitungen bis zur zweiten Ordnung (einschließlich) auf der gegebenen Kontur der \(xy\)-Ebene und in ihrem Innern beschränkte Funktionen sind. Für die Gleichung der Mimmalflächen ist das Dirichletsche Problem (mit dem Plateauschen identisch) immer regulär lösbar. Für die Flächen von konstanter mittlerer Krümmung bist jedoch das Dirichletsche Problem nur dann regulär lösbar, wenn sich durch die gegebene geschlossene Kontur eine “reguläre” Fläche von solcher, im allgemeinen variabler mittlerer Krümmung \(H(x,y)\) legen läßt, daß \(0\leqq H(x,y)\leqq h\). Ein entsprechender Satz (mit \(K\geqq k\)) gilt auch für Flächen konstanten Krümmungsmaßes \(k\).

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Full Text: DOI Numdam EuDML