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Superficie algebriche di genere zero e bigenere uno, e loro casi particolari. (Italian) JFM 41.0709.03

Die algebraische Fläche, die (wenn man die Bezeichnungen anwendet, welche in der modernen Theorie der algebraischen Flächen im Gebrauch sind) durch die Gleichungen \(p_g=p_a=0\), \(P_2=1\) charakterisiert sind und ferner eine bikanonische Kurve von der Ordnung \(0\) besitzen, wurden von F. Enriques vollständig bestimmt (Sopra le superficie algebriche di bigenere uno; Mem. di Mat. e Fis. della Soc. It. delle Scienze (3) 14, 327-352, 1907). Dieser Geometer bewies, daß solche Flächen in Flächen sechster Ordnung des gewöhnlichen Raumes rational transformiert werden können, welche die Kanten eines Tetraeders zu Doppellinien haben. Sie können ferner mit den folgenden Gebilden in eindeutige Beziehung gesetzt werden:
a) Doppelebene mit einer Verzweigungskurve achter Ordnung, bestehend aus einer Kurve sechster Ordnung, welche zwei Berührungsknoten und den Durchschnittspunkt der entsprechenden Tangenten als Doppelpunkt hat, und diese Tangenten;
b) Fläche zehnter Ordnung des \(R_5\), deren Schnitte Kurven sechster Ordnung sind, und die man als Bild der Kongruenz (7, 3) ansehen kann, welche aus den Hauptstrahlen eines dreifach unendlich linearen Systems von Quadriflächen ohne Basispunkte gebildet wird.
Der Verf. setzt diese Untersuchungen fort, indem er zuerst für die in Rede stehenden Flächen alle charakteristischen Zahlen bestimmt, sowie auch die Transformationen der Flächen in sich selbst. Endlich untersucht er eingehend die besonderen Fälle, welche sich darbieten, wenn das singuläre Tetraeder nicht alle seine Elemente verschieden hat. Zahlreiche und exakte Zitate ermöglichen die Bestimmung der Beziehungen der vorliegenden Arbeit zu älteren.
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References:

[1] Sopra le superficie algebriche di bigenere uno [Memorie di Matematica e di Fisica della Società Italiana delle Scienze, serie III, tomo XIV (1907), pp. 327–352].
[2] Vedi la mia Memoria:Nuove ricerche sulk congruence di rette del 3{\(\deg\)} or dine prive di linea singolare [Memorie della R. Accademia delle Scienze di Torino, serie II, tomo LI (Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali) (1901), pp. 1–79], in particolare il § 14. Dal punto di vista proiettivo, questa congruenza di rette era già stata studiata dal sig.Reye [Geometrie der Lage, 3 [a edizione, vol. III (1892), pag. 140].
[3] F. Severi,La base minima pour la totalité des courbes tracks sur une surface algébrique [Annales scientifiques de ľÉcole Normale supérieure (Paris), 3e série, t. XXV (1908), pp. 449–468], n{\(\deg\)} 5.
[4] Loc. cit. 3), § 2. Questo carattere è il “ massimo numero di sistemi lineari distinti che si possono ottenere da un sistema assegnato mediante divisione per un numero intero {”.}
[5] Carattere definito anche per le superficie di genere zero. Cfr.Castelnuovo eEnriques,Sopra alcune questioni fondamentali nella teoria delle superficie algebriche [Annali di matematica pura ed applicata, serie III, tomo VI (1901), pp. 165–225]. · doi:10.1007/BF02420881
[6] Cfr.Picard etSimart,Théorie des fonctions algébriques de deux variables indépendantes (Paris, Gauthier-Villars), t. I (1897), t. II (1906). In particolare t. II, p. 373. La forma invariantiva suindicata di questa relazione è stata data dalSeveri [Cfr. la Recensione di detta opera nel Bollettino di Bibliografia e storia delle Scienze Matematiche, anno X (1907), pp. 1-10].
[7] F. Severi,Sulla totalità delle curve algebriche tracciate sopra una superficie algebrica [Mathematische Annalen, t. LXII (1906), pp. 194–225], pag. 199. In questa Memoria e nella precedente NotaSur la totalité des courbes tracées sur une surface algébrique et sur les intégrales de Picard attachées à la surface [Comptes rendus hebdomadaires des séances de ľAcadémie des Sciences (Paris), t. CXL (1er semestre 1905), pp. 361-363 (séance du 6 février 1905)] è pure introdotto e definito il numéro-basep di una superficie. · doi:10.1007/BF01449978
[8] Loc. cit. 3), n{\(\deg\)} 1.
[9] Loc. cit. 3), § 2.
[10] Il teorema ďABELsulle superficie algehriche [Annali di Matematica pura ed applicata, s. III, t. XII (1906), pp. 55–79], n{\(\deg\)} 6.
[11] Enriques, loc. cit. 1), n{\(\deg\)} 20. Vedi anche la Nota:Enriques,Sulle superficie algebriche che ammettono una serie discontinua di trasformazioni birazionali [Rendiconti della R. Accademia dei Lincei, vol. XV, 2{\(\deg\)} semestre 1906, pp. 665–669], n{\(\deg\)} 3. 13)Enriques,Sulle superficie algebriche che ammettono un gruppo continuo di trasformazioni birazionali in s’e stesse [Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, t. XX (1905), pp. 61-72].
[12] De functionibus duarum variabilium quadrupliciter periodicis, quibus theoria transcendentium Abelianarum innetitur [Journal für die reine und angewandte Mathematik, t. XIII (1835), pp. 55–78].
[13] Enriqjjes, loc. cit. 1), n{\(\deg\)} 10 e seguenti.
[14] Per la classificazione dei fasci di quadriche e loro caratteristiche, cfr.C. Segre,Studio sulle quadriche in uno spazio lineare ad un numero qualunque di dimensioni [Memorie della R. Accademia delle Scienze di Torino, serie II, tomo XXXVI (1884)], n{\(\deg\)} 80.
[15] Zur Classification der Flächen drifter Ordnung [Mathematische Annalen, t. XIV (1879), pp. 46–110].
[16] A. Cayley: a)A Memoir on Quartic Surfaces [Proceedings of the London Mathematical Society, Vol. III (1869-1871), pp. 19–69;The Collected Mathematical Papers, Vol. VII (1894), pp. 133-181], n{\(\deg\)} 65 e seguenti; b)A Second Memoir on Quartic Surfaces [Ibid., id., pp. 198-202; Ibid., id., pp. 256-260]; c)A Third Memoir on Quartic Surfaces [Ibid., id., pp. 234-266; Ibid., id., pp. 264-297]. – Vedi anche:Salmon-Fiedler,Analytische Geometrie des Raumes, II. Theil, III. Auflage (Leipzig, Teubner, 1880), pp. 468-469. · doi:10.1112/plms/s1-3.1.19
[17] C. Segre,Sulla scomposizione dei punti singolari delle superficie algebriche [Annali di Matematica pura ed applicata, serie II, tomo XXV (1897), pp. 1–54], n{\(\deg\)} 12. · doi:10.1007/BF02580500
[18] Cfr.: loc. cit. 21)b, ni 116–118; 21)c, ni 151–153.
[19] Alľequazione di questo fascio sono giunto partendo (per suggeriraento del Prof. C. Segre) dalľequazione di un sistema lineare di cubiche con 6 punti basi coincidenti, la quale trovasi nella Memoria diJ. Diekmann sulla rappresentazione piana delle superficie di 3{\(\deg\)} ordine con punti doppi {Ueber die Modificationen, welche die ebene Abbildung einer Fläche 3 [ter [Ordnung durch Auftreten von Singularitäten erhäll [Mathematische Annalen, t. IV (1871), pp. 442–475]}. La superficie rappresentata da questo sistema lineare, la quale ha un punto doppio biplanare del tipoB 6, contiene una retta immagine del gruppo dei 6 punti base consecutivi ; e alle sezioni con piani passanti per un punto di questa retta, oppure per una tangente e in particolare per la seconda tangente principale in questo punto, devono corrispondere nel piano rappresentativo cubiche aventi un settimo, un ottavo, o anche un nono punto comune consecutivo ai primi.
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