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On the \(3-3\) birational transformation in three dimensions. (English) JFM 41.0745.01
Cayley hat 1869 (F. d. M. 3, 430, 1871, JFM 03.0430.01) birationale Transformationen im Raume betrachtet, als unmittelbare Ausdehnung der Cremona-Transformationen der Ebene.
So untersuchte er die \(3-3\) Transformation, die geliefert wird durch drei bilineare Relationen in zwei Reihen homogener Punktkoordinaten zweier Räume. Der \(\infty^3\)-Schar der Ebenen korrespondiert dabei eine \(\infty^3\)-Schar von \(F_3\) (mit einem einzigen variabeln Schnittpunkte), die durch eine feste \(C_6\) mit 7 scheinbaren Doppelpunkten hindurchgehen.
Cayley stellt die Transformationsformeln in zwei Fällen auf; a) wenn die \(C_6\) nicht ausartet; b) wenn sie zerfällt in vier (sich nicht schneidende) Gerade und ihre beiden Transversalen. Cremona und Noether (F. d. M. 3, 425, 429, 1871, JFM 03.0425.02) untersuchten weitere Ausartungen der \(C_6\). Seitdem ist die allgemeine Theorie der birationalen Transformationen wesentlich weiter entwickelt worden.
Im folgenden werden alle Fälle untersucht, wo die \(C_6\) der \(3-3\) Transformation aus sechs Geraden mit acht einfachen Schnittpunkten (resp. deren Äquivalenten bei vielfachen Schnittpunkten) besteht. Dabei bieten sich 11 verschiedene Anordnungsmöglichkeiten, mit zusammen 28 Fällen.
Denkt man sich die drei bilinearen Relationen zwischen den beiden Koordinatenreihen (zweier Räume) \(x, y, z, w\), resp. \(X, Y, Z, W\) in der Form gegeben: \(Xp_i+Yq_i+Zr_i+Ws_i=0\) \((i=1,2,3)\), so werden die \(X, Y, Z, W\) proportional den Determinanten der Matrix \(| p_iq_ir_is_i|\). Die Basiskurve \(C_6\) erscheint dann als gemeinsamer Schnitt der vier kubischen Flächen \(0=X=Y=Z=W\). Im folgenden wird dieser Prozeß umgekehrt: zuerst werden auf direktem Wege die verschiedenen Ausartungsfälle der \(C_6\) konstruiert und sodann vermöge geeigneter Gleichungen jeweils vier linear unabhängige kubische (nicht ausgeartete) Flächen hergestellt. Damit gelangt man rückwärts zu den korrespondierenden drei bilinearen Relationen, die dann nach \(x,y,z,w\) aufzulösen sind, womit sich vier kubische Flächen des zweiten Raumes mit ihrer Basiskurve \(C_6\) ergeben.
Was die Einzeldiskussion angeht, so wird die Verteilung der acht Schnittpunkte der sechs Geraden, in die die \(C_6\) zerfällt, eben dadurch diskutierbar, daß die sechs Geraden auf einer kubischen Fläche liegen. So können nicht mehr als drei der Geraden in einer Ebene liegen usf. Es ergeben sich folgende Hauptunterfälle: A) acht einfache Schnittpunkte, B) ein dreifacher und sechs, resp. fünf einfache, C) zwei dreifache und vier einfache, mit Unterarten, D) drei dreifache und zwei einfache, E) vier dreifache, F) ein vierfacher und vier einfache, G) ein vierfacher, ein dreifacher und zwei einfache, H) ein fünffacher und zwei einfache. Geeignete schematische Diagramme dienen zur Illustration.

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