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Studien über einige Probleme der Potentialtheorie. (German) JFM 41.0857.01
Aus der speziellen Potentialfunktion eines ebenen Kreises, die an dem Kreise selbst konstant ist, \[ (1)\quad \psi(a)=\text{arc}\sin\;\frac{2a}{\sqrt{z^2+(a+r)^2}+\sqrt{z^2+(a-r)^2}} \] (\(a\) Kreisradius, \(r\cos\vartheta\), \(r\sin\vartheta\), \(z\) die rechtwinkligen Koordinaten des Aufpunktes), leitet der Verf. eine allgemeinere Potentialfunktion her, die auf dem gegebenen Kreise den Wert \(F(r)\) annimmt, wo \(F\) beliebig gegeben ist. Einfache Überlegungen führen darauf, daß die Funktion \[ (2)\quad \varphi=\frac{2}{\pi}\;\int_0^a \psi'(\xi)f(\xi)d\xi \] alle geforderten Eigenschaften besitzt, falls \((\xi)\) der Gleichung \[ (3)\quad F(r)=\frac{2}{\pi}\;\int_0^r\;\frac{f(\xi)d\xi}{\sqrt{r^2-\xi^2}} \] genügt. Die Gleichung (3) läßt sich mittels der folgenden, durch Umkehrung der Integrationsfolge leicht zu beweisenden allgemeinen Gleichung lösen: Es ist \[ (4)\quad \int_a^x\;\frac{(x-\eta)^{\beta-1}}{\Gamma(\beta)}\;d\eta\int_a^\eta\;\frac{(\eta-\xi)^{\alpha-1}}{\Gamma(\alpha)}\;\chi(\xi)d\xi=\int_a^x\;\frac{(x-\xi)^{\alpha+\beta-1}}{\Gamma(\alpha+\beta)}\;\chi(\xi)d\xi; \] und als Lösung von (3) ergibt sich \[ (5)\quad f(\xi)=\frac{d}{d\xi}\left(\int_0^\xi\;\frac{\eta}{\sqrt{\xi^2-\eta^2}}\;F(\eta)d\eta\right). \] Unter Benutzung derselben Funktion \(\psi\) wird ferner das Potential zweier in den Ebenen \(z=+h\) und \(z=-h\) übereinander liegenden Kreise ermittelt, das an den Kreisen die Werte \(F_1(r)\), resp. \(F_2(r)\) annimmt. Aus dem Resultat erhält man eine exakte Lösung des Kondensatorproblems, wenn \(F(r_1)=1\), \(F_2(r)=\pm 1\) ist und zugleich die Radien der Kreise gleich sind.
Mittels einer anderen Hülfsfunktion \(\psi\) wird ebenso das logarithmische Potential einer geradlinigen Strecke abgeleitet, das an dieser Strecke beliebig gegebene Werte hat. Auch dabei ist durch eine der Gleichung (3) analoge Gleichung eine Funktion \(f(\xi)\) zu bestimmen, und die Methode, aus der sich \(f\) ergibt, läßt sich dahin verallgemeinern, daß sie zur Lösung der Aufgabe führt: Aus der Integralgleichung \[ A\Phi(x)=F(x)+\int_a^x f(x-\xi)\Phi(\xi)d\xi, \] in der \(F\) und \(f\) bekannt sind, \(\Phi\) zu bestimmen.
Die Lösung der ersten Aufgabe (und ebenso die der zweiten) läßt sich noch in eine andere Form bringen, wenn man die Funktion \(\psi(a)\) der Gleichung (1) durch ein Besselsche Funktionen enthaltendes Integral darstellt (vgl. Riemann-Weber, Die partiellen Differentialgleichungen der mathematischen Physik, 4. Auflage, Bd. I, S. 329). Doch gilt diese Darstellung, was der Verf. der vorliegenden Abhandlung nicht angibt, nur für positive Werte von \(z\).
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Full Text: DOI Link EuDML
References:
[1] Vergl. Riemann-Weber, Die partiellen Differentialgleichungen der mathematischen Physik, 4. Aufl., Bd. 1, § 134, S. 329.
[2] Vergl. Riemann-Weber, Die partiellen Differentialgleichungen der mathematischen Physik, 4. Aufl., Bd. 1, § 134, S. 329.
[3] Es ergibt sich die Aufgabe, diese exakte Lösung des Kondensatorproblems mit der bekannten Näherungslösung von, Kirchhoff (Vorlesungen über mathematische Physik, Bd. 3 (1891), § 9) zu vergleichen. Infolge der schlechten Konvergenz der Reihe (11) für kleineh ist dies jedoch bisher noch nicht in befriedigender Weise gelungen.
[4] Vergl. Riemann-Weber, Die partiellen Differentialgleichungen der mathematischen Physik, 4. Aufl., Bd. 1, § 4, S. 10, Regel II.
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