×

An invariantive investigation of irreducible binary modular fomrs. (English) JFM 42.0134.02

Ein Fundamentalsystem von Invarianten der Gruppe \(G\) aller binären linearen Transformationen \(S\) in einem Felde \(F\) endlicher Ordnung \(g\), vom Modul \(p\), besteht, wie gezeigt wird, aus zwei Invarianten; die eine ist das Produkt der verschiedenen Linearformen, die andere das Produkt der verschiedenen irreduzibeln quadratischen Formen. Das Produkt \(\pi_m\) der irreduzibeln Formen vom Grade \(m\) läßt sich dann durch die beiden Fundamentalinvarianten ausdrücken.
Zwei Formen gehören derselben “Klasse” an, wenn eine von ihnen, bis auf ein konstantes Vielfaches, in die andere transformiert werden kann durch eine unimodulare \(S\).
Es gibt ebenso viele Klassen irreduzibler binärer Formen vom Grade \(m\) wie irreduzible Faktoren von \(\pi_m\), wenn \(\pi_m\) als Funktion eines gewissen Paares von Invarianten ausgedrückt ist. Hierbei sind die Fälle \(p=2\) und \(p>2\) zu unterscheiden. Die Untersuchung wird für die Werte von \(m<8\) vollständig durchgeführt.
Die Gruppe \(G\) beziehe sich zunächst auf \(m\) homogene Variabeln. Der “Punkt” \(P=(x_1,\dots,x_m)\) ist als gleichwertig mit \((\mu x_1,\dots,\mu x_m)\) anzusehen; er bleibt also ungeändert bei einer Ähnlichkeitstransformation (1) \(x_i^{'}=ax_i\). Ist \(\gamma\) die Anzahl der Transformationen (1) in \(G\) und \(\frac g\gamma=\omega(>1)\), so ist jeder Punkt gegenüber \(G\) einer von \(\leqq\omega\) verschiedenen “konjugierten”. Im Falle \(<\omega\) heißt der Punkt “speziell”; es gibt dann wenigstens eine Transformation außer (1), bei der er invariant bleibt. Bleibt \(P\) gegenüber \(T\) invariant, und wird \(P\) vermöge \(S\) durch \(P'\) ersetzt, so ist \(P'\) invariant gegenüber \(S^{-1}TS\).
Im besonderen sei jetzt \(m=2\) und \(F\) das Feld \(GF[p^n]\) von der Ordnung \(p^n\), so daßdie Ordnung \(g\) von \(G\) den Wert \(p^n(p^{2n}-1)\) hat.
Zunächst betrachte man innerhalb \(G\) eine Transformation \(T\) mit irreduzibler charakteristischer Determinatente \(\varDelta(\varrho)\). Diese führt zu der relativen Invariante \(Q\) und \(G\): \[ (2)\quad Q=\frac{x^{p^{2n}-1}-y^{p^{2n}-1}}{x^s-y^s}\quad (s=p^n-1), \] die sich in ein Produkt von \(\frac12(p^{2n}-p^n)\) irreduzibeln quadratischen Faktoren zerlegen läßt. Andererseits sei \(S\) eine Transformation mit \((\varrho-k)\left(\varrho- \frac1k\right)=\varDelta(\varrho)\), wo \(k\) in \(GF[p^n]\) enthalten ist. Diese führt zu der relativen Invariante \(L\) von \(G\): \[ (3)\quad L=x^{p^n}y-xy^{p^n}=y\prod_\alpha(x-\alpha y). \] Nunmehr wird der allgemeine Satz bewiesen: Wenn eine ganze Funktion invariant ist gegenüber der Gruppe \(G\) aller \(m\)- ären linearen homogenen Transformationen der Determinante 1 in \(GF[p^n]\), so ist eine absolute Invariante von \(G\).
Daraus folgt, daßirgendeine ganze Invariante der binären Gruppe \(G\), mit Koeffizienten in \(GF[p^n]\), eine ganze Funktion der Invarianten \(Q\) und \(L\) ist, wiederum mit Koeffizienten in \(GF[p^n]\).
Versteht man jetzt unter \(G'\) die Gruppe aller binären Transformationen in \(GF[p^n]\), so läßt sich jede absolute Invariante von \(G'\) durch \(Q\) und \(L^s(s=p^n-1)\) ausdrücken. Eine ausgezeichnete Invariante ist das Produkt \(\pi_m\) aller binären Formen des Grades \(m\), die irreduzibel in \(GF[p^n]\) sind, und als Koeffizienten von \(x^m\) die Einheit haben. Diese Invariante \(\pi_m\) liegt der Aufgabe zugrunde, die Anzahl der verschiedenen Klassen irreduzibler Formen vom Grade \(m\) zu bestimmen. Das Hauptergebnis ist, daßebensoviele solcher Klassen existieren, als irreduzible Faktoren der Invariante \(\pi_m\); der Grad dieser Faktoren ist \(m\) oder ein Teiler von \(m\).
An Einzelergebnissen seien folgende angeführt.
Die kubischen Formen \((m=3)\) gehören einer einzigen Klasse an oder aber zwei Klassen, je nachdem \(p=2\) oder \(p>2\) ist. Für \(m=4,p=2\) existieren \(2^{n-1}\) Klassen, und, wenn \(p>2\) ist, \(6k+2,6k,6k+2,6k-2\) Klassen, je nachdem \(p^n\) von den Formen \(8k+1,8k-1,8k+3,8k-3\) ist.
Für \(m=5,p=2\) sind, je nachdem \(n\) ungerade oder gerade, \(\frac15(2^{2n}+1)\) oder \(2+\frac15(2^{2n}-1)\) Klassen vorhanden, bei \(p>2\) dagegen \(2(5^{2n-1}+1),4+\frac25(p^{2n}- 1),\frac25(p^{2n}+1)\) Klassen, je nachdem \(p=5,p^n=5k\pm1,p^n=5k\pm2.\) Für \(m=6,p=2\) existieren, je nachdem \(n\) ungerade oder gerade, \(\frac16(2^{3n}+2^{2n}+3.2^{2n}-6)\) oder \(\frac16(2^{3n}+2^{2n}+3.2^{2n}-2)\) Klassen.
Für \(m=6,p>2\) bietet sich ein eigenartiges Problem dar; es sind die irreduzibeln kubischen Formen \(C\) von der Gestalt \(C=\varrho^3-\varrho^2+a\varrho-b\) zu bestimmen, die bei Ersetzung von \(\varrho\) durch \(\lambda^2\) irreduzible Formen sechster Ordnung liefern. Hierbei ist eine ziemliche Reihe von Unterfällen je nach der Natur der Koeffizienten \(a\) und \(b\) zu unterscheiden. Zunächst ergibt sich die Anzahl der irreduzibeln Formen \(C\) als \(\frac16(p^n\mp1)(p^n\pm2)\), wenn \(p^n=12k\pm1\); als \(\frac16p^n(p^n\pm1)\), wenn \(p^n=12k\pm5\). Hieraus leitet sich die Anzahl der irreduzibeln Formen sechster Ordnung \((p>2)\) ab, wie folgt: bei geradem \(n\) zu \(\frac16(2p^{3n}+p^{2n}+7p^n- a),a=-2\) für \(p^n=12k+1,a=10\) für \(p^n=16k+5,a=6\) für \(p=3\); dagegen bei ungeradem \(n\) zu \(\frac16(2p^{3n}+p^{2n}+5p^n- b),b=2\) für \(p^n=12k-5,b=6\) für \(p^n=12k-1\), oder \(p=3\).

PDFBibTeX XMLCite
Full Text: DOI