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Note on modular invariants. (English) JFM 42.0137.01

Es handelt sich um Formen, die gegenüber jeder linearen unimodularen Substitution \(S\) mod. \(p\) invariant bleiben. So bleibt die binäre Form \(B=\sum c_ix^{m-i}y_i\) bei \(S(y,-x)\) invariant, wenn \(c_i=(-1)^mc_i\), so daßbei ungeradem \(m\) und \(p>2\) keine invariante binäre Form existiert. Weiter wird das invariante Verhalten von \(B\) gegenüber Substitutionen \((x+\varepsilon y,y)\), insbesondere für \(\varepsilon=1\) untersucht. Im letzteren Falle (bei \(c_0\neq0\)) sind die Bedingungen \(c_1=0,c_2=0,\dots,c_{p-2}=0\). Eine Reihe von Einzelfällen für \(p\) und \(m\) wird explizit durchgeführt.
Daraufhin stellt der Verf. einen allgemeinen Satz ohne Beweis auf.
\(B(x_1,\dots,x_m)\) sei eine Form mit ganzen Koeffizienten, invariant gegenüber einer Gruppe \(G\) von Substitutionen mod. \(p\). Ist \(B\) irreduzibel mod. \(p\), so heißt \(B\) eine Elementarinvariante von \(G\). Tritt dieser Fall nicht ein, so sei \(f\) ein irreduzibler Faktor von \(B\). Vermöge Ausübung von \(G\) auf \(f\) geht eine Reihe von \(g\) “Repräsentanten” \(f_1=f,f_2,\dots,f_g\) hervor. Dann ist das Produkt \(F=f_1f_2\dots f_g\) ein Faktor von \(B\) und eine Elementarinvariante von \(G\). Alle anderen Invarianten von \(G\) sind Produkte aus Elementarinvarianten.

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