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On non-vanishing forms. (English) JFM 42.0138.01

Eine Form \(F_n(x_1,\dots,x_n)\) vom Grade \(m\), mit Koeffizienten eines gegebenen endlichen Feldes, die nur zugleich mit allen Variabeln verschwindet, heißt eine “nicht verschwindende” Form. Für \(n=2\) ist \(F\) entweder selbst irreduzibel, oder aber das Produkt von nicht linearen irreduzibeln Faktoren. Für \(m=2,n>2;m=n=3;m=3,n>3\) treten triviale Fälle ein.
Im folgenden besteht das Feld aus ganzen Zahlen mod. 2.
Sei \(F\) eine nicht verschwindende Form vom Grade \(m\), so leite man aus \(F\) eine “reduzierte” Form \(R_n\) her, indem man \(x_i^a\,(a>1)\) durch \(x_i\) ersetzt. Dann gilt, die durch vollständige Induktion bewiesen wird, das Haupttheorem: (I) \(R_n=\prod_{i=1}^n(1+x_i)-1\) mod. 2. Hierbei ist \(m\geqq n\). Der Fall \(m=4,n=3\), also einer ternären Form 4. Grades wird ausführlich mit allen Sonderfällen diskutiert.
Die reduzierte Form wird daraufhin untersucht, ob sie einen Linearfaktor im Galoisschen Felde der Ordnung 16 besitzt; für einen ersten Hautptypus gibt es drei solche Formen, die mod. 2 äquivalent sind, und ähnlich verhält es sich bei anderen Typen. Die Hauptaufgabe besteht darin, die Formen \(F\) in nicht äquivalente Klassen zu zerlegen. Es ergibt sich, daßjede Form \(F\) mod. 2 äquivalent ist einem von 7 nichtäquivalenten Typen; die zugehörigen Gruppen für die Noramlformen sind die bekannte \(G_{168}\), die Diedergruppe \(G_8\), die \(G_6\) von symmetrischem Typus sowie zyklische Gruppen der Ordnungen 4, 3, 2, 7. Sodann wird noch der Fall einer ternären Form \(F\) 6. Grades in den Hauptzügen behandelt. Man gelangt zunächst zu \(2^7\) Formen, die untereinander durch alle linearen Substitutionen mod. 2 vertauscht werden; in besonderen Fällen treten Reduktionen ein.
Will man sich aber damit begnügen, für beliebige Werte von \(m\) und \(n\) jede nicht verschwindende Form hinzuschreiben, ohne diese Formen in Klassen einzuteilen, so genügen dazu das unter (I) angegebene Theorem.
Daßdie nicht verschwindenden Formen in der Theorie der “linearen Algebras”, der quadratischen Formen und bei anderen algebraischen Problemen eine wichtige Rolle spielen, ist bekannt.

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