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Über das Minimum einer Quadratsumme linearer Formen. (German) JFM 42.0143.02
Es liegen \(n\) Linearformen \(f_k\) der \((m\leqq n)\) reellen Variabeln \(x_i\) mit reellen Koeffizienten \(a_{ik}\) vor; von den in der Matrix \(|a_{ik}|\) enthaltenen \(m\)-zeiligen Determinanten \(D_j\) sei wenigstens eine von Null verschieden, und die \(x_i\) sollen der Bedingung \(\sum x^2=1\) unterworfen sein.
Es soll eine untere Grenze für das Minimum der Form \(F=\sum f^2\) ermittelt werden. Vermöge einer orthogonalen Subsitution wird \(F\) auf die Gestalt \(\sum\lambda_k\xi_k^2\) gebracht; hier sind die \(\lambda\) positiv, und \(\lambda_m\) bezeichne ein solches der \(\lambda\), das nicht größer ist, als die übrigen. Das Minimum von \(F\) ist dann \(\lambda_m\), so daß eine untere Grenze der \(\lambda\) zu suchen ist. Es ergibt sich \(\lambda_m=\frac{\sum D_j^2}{\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_{m-1}}\). Das Maximum des Nenners ist \(\leqq\left(\frac{s-\lambda_m}{m-1}\right)^{m-1}\), wo \(s=\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_m\). Mithin wird \(\left(\frac{m-1}s\right)^{m-1}\sum D_j^2\) untere Grenze für das Minimum von \(F\).
Die Form \(F\) läßt sich ersetzen durch eine beliebige positive definite quadratische Form, man hat nur unter \(s\) die Summe der Koeffizienten der Variabelnquadrate zu verstehen und an Stelle von \(\sum D_j^2\) die Determinante von \(F\) zu setzen.

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References:
[1] Diese Problemstellung ist durch die vorhergehende Arbeit des Herrn O. Blumenthal veranlaßt (vgl. S. 403).
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