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Über die Bewegungsgruppen der Euklidischen Räume. (Erste Abh.). (German) JFM 42.0144.02
Im zwei- und dreidimensionalen Euklidischen Raume gibt es, wie man weiß, nur endlich viele Bewegungesgruppen mit endlichem Fundamentalbereich.
Hilbert (F. d. M. 31, 68, 1900) vermutete, daß diese Eigenschaft allgemein der Euklidischen Räumen \(R_n\) zukommt. Dem Beweise dieses grundlegenden Satzes ist die vorliegende Abhandlung gewidmet.
Die Grundlage des Beweises besteht darin, daß, wie bei \(n=3\) nach Schoenflies (F. d. M. 23, 554, 1891), zunächst die Existenz einer in der Gruppe vorkommenden Translationsuntergruppe von \(n\) linear unabhängigen Translationen festgestellt wird, und weiterhin die endlichen Gruppen orthogonaler Substitutionen verwendet werden. Als neues Moment kommt hinzu die Benutzung der endlichen Gruppen ganzzahliger linearer Substitutionen \(S\) und damit der Theorie der positiven quadratischen Formen. Hierdurch gelingt es, den Endlichkeitsbeweis zur\"cukszuführen auf einen Satz von Minkowski (F. d. M. 37, 251, 1906), daß es nur endlich viele unimodulare \(S\) mit ganzrationalen Zahlenkoeffizienten gibt, die positive reduzierte Formen wieder in solche überführen.
Der vorliegende erste Teil der Untersuchung behandelt die Bewegungsgruppen mit unendlichem Fundamentalbereicht; eine solche erweist sich als entweder homogen und endlich, oder aber als zerlegbar.
Eine Bewegung (§1) des Euklidischen \(R_n\) ist eine lineare Substitution, die das Quadrat \(ds^2\) des Linienelementes in sich überführt. Fehlen die freien Glieder, so reduziert sich die Substitution auf eine orthogonale \(A(a_{ik})\) mit der Determinante \(\varDelta_A=|a_{ik}|\) und der charakteristischen Gleichung \(D_A(\varrho)=0\). Je nachdem \(\varDelta_A=\pm1\) ist, liegt eine eigentliche oder aber uneigentliche Bewegung (Operation erster oder aber zweiter Art) vor. In §2 wird für \(\varDelta_A=+1,D_A(1)\neq0\) die Cayleysche rationale Parameterdarstellung der \(A\) mittels einer schiefsymmetrischen Matrix abgeleitet.
In §3 werden alle reellen \(A\) betrachtet, die aus einer solchen, \(A\), durch Transformation vermöge einer zweiten, \(B\), entstehen, die also von der Gestalt sind \(BAB^{-1}\).
Zu einer gegebenen orthogonalen Substitution \(O\) läßt sich immer eine andere, \(P\), so bestimmen, daß \(Q=POP^{-1}\) eine Normalform besitzt, bei der alle Elemente der Cayleyschen Matrix außer den Diagonalelementen \(Q_i\) verschwinden und die binäre Substitution \(Q_i\) die Gestalt besitzt: \(Q_i=\begin{pmatrix} \cos\vartheta_i2\pi &-\sin\vartheta_i2\pi\\ \sin\vartheta_i2\pi &\cos\vartheta_i2\pi \end{pmatrix}\). Die \(\vartheta_i\) heißen die Drehwinkel.
Für diese Normalform wird ein Beweis gegeben, der auf der Realität der Wurzeln der Säkulargleichung beruht.
In §4 wird bewiesen, daß die \(|\vartheta_i|\) Invarianten der orthogonalen Transformation sind, d. h. unabhängig von der Art, wie die Normalform hergestellt sein mag. Außer den durch die Normalform ausgezeichneten Räumen führt die orthogonale Transformation dann und nur dann noch andere lineare Räume in sich über, wenn mehrere der \(|\vartheta_i|\) zusammenfallen. Zwei vertauschbare orthogonale Substitutionen \(A,B\) positiver Determinante lassen sich auf eine spezifische simultane Normalform bringen. Es handelt sich nun (§6) um Bewegungsgruppen \(G\) mit einem “Fundamentalbereich”, d. h. einem zusammenhängenden Bereich, der zu jedem Punkte eines durch \(G\) sich transformierten Gebietes einen und nur einen äquivalenten Punkt enthält. Es ist dann möglich, um jeden Punkt des Fundamentalbereiches einen Bereich abzugrenzen, der keine zwei äquivalenten Punkte enthält, und umgekehrt.
Eine Gruppe enthält infinitesimale Operationen, wenn sich in ihr eine Folge von Operationen \(A_1,\dots,A_n,\dots\) so angeben läßt, daß zu jeder Größe \(\varepsilon\) ein Index \(m\) gehört, so daß die Koeffizienten von \(A_i\,(i>m)\) von den entsprechenden der identischen Matrix um weniger als \(\varepsilon\) abweichen. Dann gilt der Sats, daß eine von infinitesimalen Operationen freie Bewegungsgruppe einen Fundamentalbereich besitzt. Über orthogonale Operationen werden in §7 zwei Hülfssätze aufgestellt. Es seien \(A,B\) zwei vertauschbare orthogonale Operationen gerader Zeilenzahl; die Drehwinkel von \(A\) sollen alle irrational sein, die von \(B\) teilweise irrational, teilweise Null. Dann gibt es zwei positive Exponenten \(\omega_1,\omega_2\), so daß die Drehwinkel von \(A^{\omega_1},B^{\omega_2}\) sämtlich irrational werden.
Sei ferner \(\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n,\dots\) eine auf infinitesimale Substitutionen führende Folge orthogonaler Operationen, so gibt es ein \(k\) derart, daß kein \(\beta_i\,(i>k)\) einen Punkt eines Raumes \(x_{h+i}=x_{h+2}=\cdots=x_n=0\) in einen Punkt des dazu senkrechten Raumes \(x_1=\cdots=x_h=0\) überführt. Eine “zerlegbare” Bewegungsgruppe (§8) ist eine solche, deren Operationen sich simultan auf die Gestalt \(\begin{pmatrix} A_{2k} &0 &0\\ 0 &A_h &T_h \end{pmatrix}\) bringen lassen, wo \(k,h\) von der einzelnen Bewegung unabhängig sind und \(T_h\) die Translationskomponenten bezeichnen. Zerlegbar ist jedenfalls eine Bewegungsgruppe, wenn sie Operationen mit irrationalem Drehwinkel enthält und von infinitesimalen Operationen frei ist. Zu dem Behuf wird umgekehrt bewiesen, wie jede Bewegungsgruppe, die Operationen mit irrationalen Drehwinkeln enthält und nicht zerlegbar ist, infinitesimale Operationen enthält. In Verbindung mit dem Satze des §6 folgt, daß eine Bewegungsgruppe mit Fundamentalbereich, die Operationen mit irrationalem Drehwinkel enthält, zerlegbar ist.
Nunmehr ist zu zeigen (§9), daß unendliche Gruppen mit unendlichem Fundamentalbereich immer zerlegbar sind, und umgekehrt. Zunächst läßt sich nachweisen, daß eine unendliche Gruppe aus orthogonalen Substitutionen infinitesimale Operationen enthält. Daraus folgt aber, daß eine unendliche Bewegungsgruppe mit Fundamentalbereich, die keine Operationen mit irrationalem Drehwinkel enthält, Translationen enthält. Es gilt weiter der Satz (§10), daß, wenn alle Translationen einer Bewegungsgruppe des \(R_n\) in einem kleineren \(R_k\) liegen, die Gruppe zerlegbar ist.
Aus diesen Sätzen läßt sich die wichtige Folgerung ziehen: Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß eine von infinitesimalen Operationen freie Gruppe einen endlichen Fundamentalbereich besitzt, ist, daß sie nicht zerlegbar ist. Mithin enthält eine Gruppe mit endlichem Funamentalbereich immer eine Translationsgruppe, deren Operationen nicht alle eine \(R_k\,(k<n)\) in sich transformieren.
Das Hauptergebnis läßt sich dahin zusammenfassen, daß die unendlichen Gruppen mit unendlichem Fundamentalbereich zerlegbar sind, und daß die zerlegbaren, von infinitesimalen Operationen freien Gruppen einen unendlichen Fundamentalbereich besitzen.

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References:
[1] Wegen der Einzelheiten und der Literatur verweise ich auf: Schoenflies, Krystallsysteme und Krystallstruktur (Leipzig 1891).
[2] Hilbert, Mathematische Probleme; Vortrag gehalten auf dem zweiten internationalen Mathematikerkongreß Paris 1900. Zuerst erschienen in den Göttinger Nachrichten 1900.
[3] Minkowski, Diskontinuitätsbereich für arithmetische Äquivalenz; J. f. Math. 129 (1905). · JFM 36.0013.01
[4] Cayley, Sur quelques propriétés des déterminants gauches. J. f. Math. 32 (1846). Ich folge der Darstellung Kleins, Nichteuklidische Geometrie (Autographiertes Vorlesungsheft), Göttingen 1892, II, S. 115. · ERAM 032.0912cj
[5] Muth, Theorie und Anwendung der Elementarteiler, Leipzig 1899, S. 176.
[6] Schläfli, J. f. Math. 65 (1866), S. 185. · ERAM 065.1694cj
[7] Goursat, Ann. éc. norm. sup. (3) 6 (1889).
[8] Minkowski, Geometrie der Zahlen (Leipzig 1897–1910), S. 108. Diophantische Approximationen (Leipzig 1907), S. 8.
[9] Maschke, Math. Ann. 52, S. 363.
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