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Über die Zerlegung der endlichen Gruppen in direkte unzerlegbare Faktoren. (German) JFM 42.0156.01
In dieser Arbeit wird zum erstenmal streng bewiesen, daß eine endliche Gruppe im wesentlichen nur auf eine Weise als das direkte Produkt von unzerlegbaren Gruppen dargestellt werden kann (vgl. das Referat über die Arbeit von J. H. Maclagan-Wedderburn [Ann. Math. (2) 10, 173–176 (1909; JFM 40.0192.02)]). Hierbei heißt eine Gruppe (direkt) unzerlegbar, wenn sie nicht das direkte Produkt zweier von \(E\) verschiedenen Untergruppen ist. Bezeichnet man zwei einstufig isomorphe Unterguppen einer Gruppe \(\mathfrak H\) als zentral isomorph, wenn der Quotient je zweier einander zugeordneten Elemente ein invariantes Element von \(\mathfrak H\) ist, so gelten, wie der Verf. zeigt, folgende Sätze:
Ist eine Gruppe auf zweierlei Art in direkte unzerlegbare Faktoren zerlegt, so sind die Faktoren der beiden Zerlegungen paarweise einander zentral isomorph.
Sind zwei Zerlegungen \(\mathfrak Z\) und \(\mathfrak Z'\) einer Gruppe in direkte unzerlegbare Faktoren gegeben, so kann man das Produkt aller kommutativen Faktoren von \(\mathfrak Z\) durch das entsprechende Produkt von \(\mathfrak Z'\) und ferner jeden nicht kommutativen Faktor von \(\mathfrak Z\) durch den zentral isomorphen Faktor von \(\mathfrak Z'\) ersetzen.

MSC:
20-XX Group theory and generalizations
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Full Text: DOI Crelle EuDML