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Zur Theorie der zyklischen Zahlkörper. (Zweite Abhandlung.). (German) JFM 42.0229.03
Diese Abhandlung bringt in berichtigter und wesentlich vereinfachter Form (siehe F. d. M. 40, 263, 1909) den Beweis des Kroneckerschen Satzes, daß jede im Bereich \(R\) der rationalen Zahlen Abelsche Gleichung sich durch Kreisteilungskörper lösen läßt. Der Beweis geschieht so, daß zunächst die gegenseitige Reduktion zweier in \(R\) Abelschen Körper und dann die gegenseitige Komposition zweier in \(R\) zyklischen Körper studiert wird. Daraus folgt, daß, wenn \(p\) Diskriminantenteiler des vorgelegten Körpers ist, der nicht im Grad desselben aufgeht, man durch Adjunktion der \(p\)-ten Einheitswurzel einen Körper erhält, der sich aus Kreiskörpern und einem Körper zusammensetzt, dessen Diskriminanten zu \(p\) prim ist. Mehr Schwierigkeiten machen die im Grad des Körpers enthaltenen Primzahlen. Doch kann auch in diesem Falle die Reduktion durch Kreiskörper vorgenommen werden, wodurch dann ohne weiteres der Kroneckersche Satz folgt.

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References:
[1] In der zitierten Abhandlung (S. 37) habe ich irrtümlich behauptet, daß es eine Funktion zweier Variablenu, v, die sowohl inu als inv von möglichst niedrigem Grade, gebe, die füru=x, v=y verschwindet.
[2] In einer unrichtigen Bestimmung dieser Gruppe liegt der zweite Fehler der oben zitierten Abhandlung, infolgedessen die Sätze des §6 und insbesondere das Theorem XVII, das den Sätzen von Frobenius über die Dichtigkeit gewisser Primzahlen widerspricht, aufgegeben werden müssen (Frobenius, Über Beziehungen zwischen den Primidealen eines algebraischen Körpers und den Substitutionen seiner Gruppe, Berliner Sitzungsberichte 1896).
[3] Dieser Satz ist in §5 der oben zitierten Arbeit bewiesen. Er ist auch in den allgemeinen Sätzen Dedekinds enthalten (Zur Theorie der Ideale, Göttinger Nachrichten 1894, S. 272).
[4] Vgl. meine Abhandlung über zyklische Zahlkörper in J.f. Math. 132. Kronecker, Sitzungsberichte der Berliner Akademie 1882.
[5] Dies ist ein besonderer Fall eines allgemeinen Satzes, den R. Fueter in J. f. Math. Bd. 130, S. 228 bewiesen hat.
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