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Contributions to the convergence of series of functions. (Beiträge zur Konvergenz von Funktionenfolgen.) (German) JFM 42.0275.03

Der Weierstraßsche Satz, der (kurz gefaßt) besagt, daß eine gleichmäßig konvergente Reihe regulärer Funktionen selbst eine reguläre Funktion definiert, ist in den verschiedensten Richtungen verfeinert worden. Ein letztes sehr schönes Resultat war der Satz von Vitali (F. d. M. 35, 397, 1904):
Wenn die Funktionen \(f_1(x),f_2(x),\dots,f_n(x),\dots\) in demselben abgeschlossenen Gebiete \(T\) regulär und gleichmäßig beschränkt sind (d. h. \(|f_n(x)|<\)const. für alle \(n\) und alle \(x\) aus \(T\)), und wenn für unendlich viele \(x\) mit einer Häufungsstelle im Inneren von \(T\,\lim_{n=\infty} f_n(x)\) existiert, so ist \(\lim_{n=\infty}f_n(x)\) gleichmäßig vorhanden für alle \(x\) eines jeden ganz innerhalb \(T\) gelegenen Bereiches \(T\) und definiert also, nach dem Weierstraßschen Satze, eine innerhalb \(T\) reguläre Funktion.
Auf Grund von Sätzen aus dem “Picard-LandauSchottky-Caratheodoryschen Ideenkreise” werden die Voraussetzungen des Vitalischen Satzes noch weiter vereinfacht: Statt der gleichmäßigen Beschränktheit der \(f_n(x)\) in \(T\) genügt es, anzunehmen, daß zwei verschiedene Zahlen \(a\) und \(b\) existieren, die von keiner der Funktionen \(f_n(x)\) angenommen werden. (Hierin ist offenbar die frühere Voraussetzung enthalten.) Dieser Satz wird noch weiter dahin verfeinert, daß gezeigt wird, es brauchen nicht dieselben Zahlen \(a\) und \(b\) zu sein, die von allen Funktionen ausgelassen werden: Es genügt, wenn für jedes \(n\) zwei verschiedene Zahlen \(a_n\) und \(b_n\) vorhanden sind, die von \(f_n(x)\) ausgelassen werden, wofern nur ein festes \(\gamma>0\) existiert, so daß für alle \(n\) \[ |a_n|<\gamma,|b_n|<\gamma,|a_n-b_n|>\frac1\gamma\,\text{ist.} \] In dem letzten Teil der Arbeit wird auch dieser Satz noch erheblich erweitert und verfeinert (es werden die Funktionen \(f_n(x)\) nur als meromorph in \(T\) vorausgesetzt) und auf Grund anderer Methoden bewiesen. Es springt so ein Satz heraus, der alle vorhergehenden als Spezialfälle enthält, und der wohl als ein nach dieser Richtung äußerstes Resultat bezeichnet werden kann.

MSC:

40Axx Convergence and divergence of infinite limiting processes
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