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Sur les solutions asymptotiques des éqations différentielles. (French) JFM 42.0346.02

Den Gegenstand der vorliegenden Abhandlung bildet die Untersuchung der Lösungen eines Differentialsystems, welche bei unbegrenzter Zunahme der unabhängigen Variablen gegen Null konvergieren oder allgemeiner in der Nähe von Null bleiben (die Funktionen und Variablen werden reell vorausgesetzt). Diese theoretisch wie praktisch interessante Frage ist in mehreren wichtigen Arbeiten behandelt worden, insbesondere von Poincaré, Liapunov und Bohl. In der vorliegenden Abhandlung benutzt Verf. neue Methode, welche darin besteht, die gegebenen Differentialgleichungen \((D)\) in Integralgleichungen \((J)\) zu transformieren und auf diese die klassische Picardsche Methode der sukzessiven Approximationen anzuwenden. Die Kerne der Integralgleichung \((J)\) sind die Lösungen eines linearen Differentialsystems \((L)\), das demjenigen sehr ähnlich ist, welches man erhält, wenn man die in bezug auf die Ableitungen der unbekannten Funktionen aufgelösten Gleichungen \((D)\) auf ihren linearen Teil reduziert. Die Untersuchung der Gleichungen \((J)\) und der Beweis der Konvergenz der durch die Methode der sukzessiven Approximationen gewonnenen Reihen werden mittels eines majoranten Vergleichssystems \((J')\) durchgeführt.
Im Kapitel I untersucht Verf. den Fall, wo die Gleichungen \((L)\) konstante Koeffizienten besitzen. Obwohl die Ergebnisse (Nr. 11) ungefähr die bereits von Liapunov und Bohl gewonnenen sind, hat Verf. dennoch geglaubt, diesen auch für die praktischen Anwendungen bei weitem wichtigsten Fall mit aller Sorgfalt behandeln zu sollen.
Im Kapitel II wendet Verf. alsdann seine Methode auf den Beweis und die Erweiterung der Resultate an, die Liapunov aus dem von ihm eingaführten wichtigen Begriffe der charakteristischen Zahl einer Gruppe von Funktionen abgeleitet hat. Die Gleichungen \((L)\) besitzen jetzt variable Koeffizienten; ihren Lösungen mit charakteristischer positiver Zahl entsprechen bei Null asymptotische Lösungen von \((D)\), welche von derselben Zahl willkürlicher Konstanten abhängen. Diese charakteristischen Zahlen scheinen zwar praktisch schwer bestimmbar zu sein (mit Ausnahme des Falles der Gleichungen mit konstanten Koeffizienten), bieten aber ein großes theoretisches Interesse dar. Sie zeigen in der Tat, daß ein wesentliches Element in der Untersuchung der bei Null asymptotischen Lösungen von \((D)\) die Schnelligkeit ist, mit welcher gewisse Lösungen von \((L)\) gegen Null konvergieren; sie messen gewissermaßen diese Schnelligkeit durch eine Vergleichung mit der Exponentialfunktion.
Eine Verallgemeinerung dieses Begriffes liegt nahe, indem man denselben Modus der Vergleichung beibehält, aber andere monotone Funktionen als die Exponentialfunktion benutzt. Verf. führt dies in einem wichtigen Sonderfalle aus, dem das Kapitel III gewidmet ist: Die unabhängige Variable kommt in den Gleichungen \((D)\) nicht explizit vor; eine (und nur eine) der charakteristischen Zahlen der Lösungen von \((L)\) ist Null. Verf. konnte in vielen Fällen (Nr. 22) die Existenz einer Klasse bei Null asymptotischer Lösungen von einem Grade der Allgemeinheit nachweisen, der größer ist, als die früheren Resultate es erwarten ließen.

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Full Text: DOI Numdam EuDML