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Theorie der linearen Differenzengleichungen. Unter Mitwirkung von Alf Guldberg in Kristiania von Georg Wallenberg in Charlottenburg. (German) JFM 42.0355.01
B. G. Teubners Sammlung von Lehrbüchern. XXV. Leipzig und Berlin: B. G. Teubner. xiv, 288 S. gr. \(8^\circ\) (1911).
In der Revue générale des sciences pures et appliquées 23, 638, 1912, gibt Vessiot eine eingehende Besprechung dieses Werkes, der wir im nachstehenden folgen.
Das Buch stellt den ersten Versuch vor, auf Grund der bisherigen Forschungen auf diesem Gebiete eine zusammenfassende, in sich zusammenhängende Theorie der linearen Differenzengleichungen aufzubauen und sie an die Seite der Theorie der linearen Differentialgleichungen zu stellen. Der festgehaltene Gesichtspunkt erhebt sich über den der zahlenmäßigen Interpolationsrechnungen, auf den die meisten neueren Werke über die Theorie der Differenzen sich beschränken. Die linearen Differenzengleichungen von dem Typus
\[ p_0(x)f(x+n)+p_1(x)(x+n1)+\cdots+p_n(x)f(x)=\varphi(x)\tag{1} \] werden als Funktionalgleichungen angesehen, deren Lösungen Funktionen einer unabhängigen Veränderlichen \(x\) sind, die sich stetig ändern kann.
In dem ersten Kapitel wird zunächst die Lösung der Gleichung (2) \(f(x+1)-f(x)=\varphi(x)\) gegeben, d. h. des Summationsproblemes nach der Guichard-Weberschen Formel; hieran knüpfen sich die Summenformeln von Plana-Abel und von Euler. Aus der Gleichung (3) \(f(x+1)=xf(x)\) werden die elementaren Eigenschaften der Gammafunktion hergeleitet, und diese werden auf die Lösung der Gleichung erster Ordnung mit rationalen Koeffizienten angewandt. Auf diese Weise tritt die wesentliche Tatsache zutage, daß die allgemeine Lösung einer Gleichung (1) von willkürlichen periodischen Funktionen abhängt. Unter Beschränkung auf reelle \(x\) und auf Polynome \(p_k(x)\) wird in genauerer Weise gezeigt, daß man willkürlich die “Anfangsfunktion” geben kann, auf welche diese allgemeine Lösung in dem anfänglichen Intervalle \((0,n)\) zurückkommt.
Die folgenden Kapitel des ersten Teiles des Werkes sind der Darlegung der formalen Theorien gewidmet, die eine einfache Umsetzung der auf die linearen Differentialgleichungen bezüglichen Theorien sind, soweit sich die Analogie dieser letzteren mit den algebraischen Gleichungen bekundet. Manche unter ihnen reichen bis auf Lagrange zurück,; die meisten sind neueren Datums und stammen von Casorati, Pincherle und seinen Schülern, endlich von Wallenberg und Guldberg selbst.
Als Ausgangspunkt dient hierbei die Existenz fundamentaler Lösungssysteme \((y_1,y_2,\dots,y_n)\) über die homogenen Gleichungen; mittels ihrer wird jede Lösung durch die Formel \[ y=\omega_1y_1+\omega_2y_2+\cdots+\omega_ny_n \tag{4} \] gegeben, wo \(\omega_1,\omega_2,\dots,\omega_n\) willkürliche periodische Funktionen von der Periode 1 sind. Diese formalen Theorien enthalten die Forschung über die Beziehungen zwischen den Koeffizienten der Gleichung und den fundamentalen Lösungssystemen, über die Erniedrigung der Ordnung der Gleichung, wenn mehrere Partikularlösungen bekannt sind, über die vielfachen Lösungen, über die Aufsuchung der mehreren Gleichungen (1) gemeinschaftlichen Lösungen. Hierbei werden lineare Operatoren eingeführt, deren Typus die linke Seite der Gleichung (1) ist, und eine symbolische Rechnung, welche die Ausdehnung des Algorithmus des größten gemeinschaftlichen Teilers auf sie ermöglicht, ebenso der Begriffe des kleinsten gemeinschaftlichen Vielfachen, der Zerlegung in lineare symbolische Faktoren, der Irreduzibilität, der Iteration, der Permutabilität.
Die Begriffe des Multiplikators und der adjungierten Gleichung, die Methode der Variation der Konstanten und ihre Anwendung auf die nichthomogenen Gleichungen haben auch ihre Analoga in dieser formalen Behandlung der linearen Differenzengleichungen.
Endlich zeigt die lineare Form der Formel (4), daß die Beziehung zwischen den verschiedenen Fundamentalsystemen, gerade wie in dem Falle der linearen Differentialgleichungen, in der linearen homogenen Gruppe von \(n\) Variabeln ihren Ausdruck findet. Hierauf beruht die Ausdehnung der Theorien über die Invarianten sowie über die transformierten und insbesondere die assoziierten Gleichungen, über die Rationalitätsgruppe, welche den Gegenstand der Forschungen von Guldberg gebildet hat und hier von ihm selbst bearbeitet ist (S. 97-140). Auf diese Darlegungen beschränkt sich übrigens die Mitarbeit dieses Gelehrten, während die Abfassung des Ganzen von Wallenberg herrührt.
Der zweite Teil des Werkes (S. 169–273) handelt von der analytische Darstellung der Lösungen der Gleichungen (1). Zunächst stößt man auf klassische Resultate: Lösung der Gleichungen mit konstanten Koeffizienten von Lagrange mit Anwendung auf die rekurrenten Reihen; Lösung der Gleichungen mit linearen Koeffizienten nach der Laplaceschen Methode unter Beschränkung auf die Fälle, wo sie nur reelle Integrationen erfordert. Nach Heymann wird eine summarische Andeutung über die Anwendung der Laplaceschen Integralgleichung (5) \(\varphi(x)=\int_a^bt^{x-1}\psi(t)\,dt\) auf die nicht homogenen Gleichungen gegeben.
Ein Kapitel ist dem Poincaréschen Theorem über die asymptotischen Eigenschaften der Lösungen und seinen Anwendungen gewidmet, insbesondere der Entwicklung der Lösungen in Kettenbrüche für die Gleichungen zweiter Ordnung nach Nörlund.
Das letzte Kapitel geht auf die Forschungen über Integration durch Reihen ein. Unter den Gleichungen erster Ordnung werden die mit der Gammafunktion zusammenhängenden, unter denen der zweiten Ordnung die mit der hypergeometrischen Reihe zusammenhängenden besonders durchforscht. Was die Gleichungen von beliebiger Ordnung mit rationalen Koeffizienten anlangt, so gibt der Verf. an, wie die Laplacesche Transformation sie auf lineare Differentialgleichungen zurückführt und so Lösungen liefert, deren asymptotische Eigenschaften Nörlund und Galbrun in peinlich genauer Weise haben ermitteln können. Schließlich enthält ein letzter Paragraph den Existenzbeweis für konvergente Fakultätreihen, die jeder homogenen Gleichung (1) genügen, deren Koeffizienten, die selbst in Fakultätreihen entwickelt sind, sich in normaler Form darstellen. Der Verf. bemerkt, daß dieses schöne, von Nörlund herrührende Existenztheorem zweifelsohne als Ausgangspunkt zu nehmen wäre bei einer Darlegung der Theorie der linearen Differenzengleichungen, die sich nicht, wie die seinige, die Bedingung auferlegte, vor allem auch den Studierenden leicht zugänglich zu sein.
Das Werk ist tatsächlich in seiner Darstellungsweise von einem verhältnismäßig elementaren Charakter; aber wenn viele Fragen nicht tiefgründig behandelt sind, so werden doch die Hinweisungen auf die Originalabhandlungen sorgfältig gegeben. Eine historische Einleitung und ein Literaturverzeichnis dienen zur Vervollständigung. Das Buch liest sich leicht. Der Verf. hebt alles hervor, was die analytische Durchforschung der betrachteten Gleichungen kennzeichnet: die Wichtigkeit der Laplaceschen Transformation und der mit ihr eng zusammenhängenden Fakultätreihen sowie die Eindeutigkeit der diesem Gleichungen genügenden Funktionen. Man darf daher hoffen, daß dieses Buch das erfüllen wird, was dem Verf. bei der Abfassung vorschwebte: die Anregung zu neuen Untersuchungen über einen allzu lange vernachlässigten Gegenstand zu geben, den neuere Arbeiten auf die interessanteste Art verjüngt haben.

MSC:
39Axx Difference equations
39-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to difference and functional equations
39A06 Linear difference equations
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