Sulle funzioni permutabili di seconda specie. (Italian) JFM 42.0375.02

Sinigallia, L.

Rom. Acc. L. Rend. (5) 20, No. 1, 563-569 (1911); 20, No. 2, 460-465 (1911).

Es handelt sich um das Problem, alle Funktionen \(K(x,y)\) zu bestimmen, die mit einer gegebenen Funktion \(F(x,y)\), als Kerne einer gewöhnlichen Integralgleichung im Intervalle \(a\leqq{x\atop y}\leqq b\) betrachtet, vertauschbar sind: \[ \int _a^bF(x,s)K(s,y)\,ds=\int_a^bK(x,s)F(s,y)\,ds \] (”permutabel von der zweiten Art” in der Bezeichung von Volterra). Verf. löst das Problem für solche speziellen Funktionen \(F\), die eine Summe von endlich vielen Produkten aus Funktionen von \(x\) allein und von \(y\) allein sind, indem er von deren Entwicklung nach den Schmidtschen adjungierten Eigenfunktionen ausgeht: \[ F(x,y)=\sum_{r=1}^n\frac{\varphi_r(x)\psi_r(y)}{\lambda_r},\text{ wo }\int_a^b\varphi_i(x)\varphi_k(x)\,dx=\int_a^b\psi_i(x)\psi_k(x)\, dx=\begin{cases} 0\\ 1\end{cases}. \] Hier ist nämlich der wesentliche Teil der Aufgabe, die Bestimmung aller mit \(F\) vertauschbaren Funktionen von der besonderen Form \(K_1=\sum_{i,k=1}^nb_{ik}\varphi_i(x)\psi_k(y)\), ein rein algebraisches Problem, das Verf. durch direkte Behandlung der entsprechenden linearen Gleichungen für die \(b_{ik}\) löst. Die erste Note behandelt den Fall des Nichtverschwindens der Determinante \(\left|\int_a^b\varphi_i(s)\psi_k(s)\,ds\right|\), die zweite den Fall ihres Verschwindens. Aus einem passenden \(K_1\) entsteht dann der allgemeinste mit \(F\) vertauschbare Kern durch Addition einer Funktion, die, mit \(F\) recht sowie links zusammengesetzt, identisch Null gibt, d. i. bekanntlich ein Ausdruck der Form \[ \begin{split} \alpha(x,y)\sum_{r=1}^n\left(\varphi_r(y)\int_a^b\alpha(x,t)\varphi_r(t)\,dt +\psi_r(x)\int_a^b\psi_r(s)\alpha(s,y)\,ds\right)\;+\sum_{i,k=1}^n\varphi_i(y)\psi_k(x)\int_a^b\int_a^b\psi_k(s)\alpha (s,t)\varphi _i(t)\,ds\,dt, \end{split} \] unter \(\alpha(x,y)\) eine willkürliche integrable Funktion verstanden.

Reviewer: Hellinger, Dr. (Marburg)

JFM Section:

Sechster Abschnitt. Differential- und Integralrechnung. Kapitel 5. Gewöhnliche Differentialgleichungen und Funktionalgleichungen. B. Funktionalgleichungen.