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Beweis der Invarianz des \(n\)-dimensionalen Gebiets. (German) JFM 42.0418.01
Der von Brouwer (Math. Ann. 70, 161-165) bewiesene Fundamentalsatz von der Erhaltung der Dimensionenzahl bei eineindeutiger und stetiger Abbildung wird hier so verschärft: In einer \(n\)-dimensionalen Mannigfaltigkeit ist das eineindeutige und stetige Abbild eines Gebiets wieder ein Gebiet. (Gebiet = zusammenhängende Punktmenge, die nur innere Punkte enthält). Das wichtigste Hülfsmittel des Beweises ist der Begriff des Abbildungsgrades (vgl. das vorstehende Referat).

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References:
[1] Vgl. Math. Ann. 70, S. 161-165. Dieser (Juni 1910 eingereichten, Februar 1911 erschienenen) Abhandlung hat Herr Lebesgue zwei weitere Beweise folgen lassen. Der erste (Math. Ann. 70, S. 166-168, datiert 14. Oktober 1910) ist ungenügend. Der zweite (C. R., 27 mars 1911) ist sachlich mit dem meinigen identisch: die Abweichungen machen den Gedankengang nur verwickelter. Was die von Herrn Lebesgue angeführten Entwicklungen des Herrn Baire betrifft, so liegen die Sätze, auf welche dort das Problem zurückgeführt wird, tiefer als die Invarianz der Dimensionenzahl.
[2] Gött. Nachr. 1899, S. 282-290. Einfachere Beweise gaben Osgood (ibid. Gött. Nachr. 1900, S. 94-97) und F. Bernstein (ibid. Gött. Nachr. 1900, S. 98-102).
[3] Bull. des Sc. Math. (2) 31, S. 97-99.
[4] Vgl. das S. 97 dieses Annalenbandes zitierte Buch.
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