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Recherches nouvelles sur les singularités des fonctions analytiques. (French) JFM 42.0424.03
Ist \[ (1)\quad \begin{cases} f(x)=A_q \left[\lg \frac{1}{1-x}\right]^q + A_{q-1}\left[\lg \frac{1}{1-x}\right]^{q-1} + \cdots \\ + A_1\lg \frac{1}{1-x}+f_1(x)=\sum_0^\infty {}^\nu a_\nu x^\nu, \end{cases} \] wo \(f_1(x)\) von negativer (Hadamardscher) Ordnung im Punkte 1 ist, dann ergibt sich \[ (2)\quad A_q=\lim_{n=\infty}\frac{s_n}{[\lg n]^q}, \] wo, wie üblich, \(s_n=a_0+a_1+\cdots+a_n\) bedeutet und \(\lim a_n=0\) vorausgesetzt wurde. Ist letztere Voraussetzung nicht erfüllt, dagegen \(\lim_{n=\infty} \frac{a_n}{n^k}=0\), so hat nur an Stelle von \(s_n\) auf der rechten Seite von (2) das arithmetische Mittel \(k\)-ter Ordnung \(\sigma_n^k\) zu treten. Ist \[ (3)\quad f(x)=\frac{P_q \left[\lg \frac{1}{1-x}\right]}{(1- x)^\varrho}+\frac{P_{q_1}[\lg 1-x]}{(1-x)^{\varrho_1}}+\cdots +f_1(x), \] wo \(P_i(z)\) ein Polynom \(i\)-ten Grades in \(z\) bedeutet, \(A_q\) der Koeffizient von \(z^q\) und \(\varrho>\varrho_i>0\) ist, dann ergeben sich ähnliche Formeln zur Berechnung von \(A_q\).
Die weiteren Ausführungen beziehen sich auf den allgemeinen Fall, in dem erstens gar keine besonderen Voraussetzungen über das infinitäre Verhalten der \(a_n\) gemacht werden, und zweitens die singuläre Stelle statt im Punkte 1 in irgendeinem Punkte \(x_0\) des Borelschen Summierbarkeitspolygons liegen kann; statt \(x\) ist dann auf der rechten Seite von (3) \(\frac{x}{x_0}\) zu schreiben. Dann ergibt sich \[ (4)\quad \frac{A_q}{\varGamma(\varrho+1)}=\lim_{a=\infty} \frac{B(a, x_0)}{a^\varrho[\lg a]^\varrho},\quad \text{wo} \] \[ (5)\quad B(a, x_0)=e^{-a}\cdot \sum_0^\infty{}^n s_n(x_0) \frac{a^n}{n!} \quad \text{und} \] \[ (6)\quad s_n(x_0)=a_0+a_1x_0+\cdots+a_nx_0^n \] gesetzt ist.
Endlich setzen die Verf. voraus, daß die isolierte singuläre Stelle \(x_0\) der durch (3) definierten Funktion eine Spitze des Mittag-Lefflerschen Sternes für \(f(x)\) bildet. An die Stelle der bloß im Summierbarkeitspolygone geltenden Borelschen Summierung \(f(x) = \lim_{a=\infty} B (a, x)\) tritt jetzt die von Mittag-Leffler angegebene \[ f(x)=\lim_{a=\infty}\frac{\sum_0^\infty{}^n s_n(x)c_na^n} {\sum_0^\infty{}^n c_na^n} \] mittels der Funktion \(\varphi(a)=\sum_0^\infty{}^n c_n a^n\), die jetzt von der Ordnung \(\infty\) ist und gewissen weiteren Bedingungen unterliegt, welche sämtlich beispielsweise von \(\varphi(a)=\sum_0^\infty{}^n \frac{a_n}{[\lg(n+\beta)]^n}\) erfüllt sind \((\beta>1)\); es gelingt den Verf. auch in diesem allgemeinsten Falle, die Koeffizienten \(A_q\) durch Grenzwerte aus den \(a_\nu\) zu berechnen.
Das letzte Kapitel ist einer Untersuchung gewidmet, die mit dem Vorhergehenden aufs engste zusammenhängt; \(f(x)\) möge im Sterne durch die polynomische Entwicklung \(M(x)\) dargestellt werden; bei geeigneter Wahl von \(M(x)\) gilt, falls \(M(x_0)\) an der singulären Stelle \(x_0\) noch konvergiert, ein dem Abelschen Satze für Potenzreihen völlig entsprechender Stetigkeitssatz. Auch falls \(M(x)\) zwischen endlichen Grenzen oszilliert oder eigentlich divergiert, lassen sich in ähnlicher Weise Schlüsse über das Verhalten von \(f(x)\) in der Umgebung der singulären Stelle \(x_0\) ziehen. Es ist hier unmöglich, näher auf den Gang und die Resultate dieser Untersuchung einzugehen, die tatsächlich nicht sowohl mit \(M(x)\) selber operiert, als mit Approximationen \(M(x, \alpha)\), die für \(\alpha=0\) gegen \(M(x)\) konvergieren und Konvergenzgebiete ganz innerhalb des Sterns besitzen.
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Full Text: DOI Numdam EuDML