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Extension d’un théorème de M. Borel aux fonctions algébroïdes multiformes. (A suivre.). (French) JFM 42.0441.02
“Algebroid” nennt der Verf. jede transzendente Funktion, die in der ganzen Ebene der unabhängigen Veränderlichen nur eine endliche Anzahl von Zweigen hat und sich nur im Unendlichen wesentlich singulär verhält. Nachdem er in einer Reihe von Abhandlungen (F. d. M. 34, 450, 1903; 35, 415, 1904; 37, 419-421, 1906; 38, 424, 425, 1907) versucht hatte, die klassischen Sätze von Picard und deren Verallgemeinerungen, die man Borel verdankt, auf solche algebroiden Funktionen zu übertragen, beschäftigt er sich in der vorliegenden Abhandlung mit der Ausdehnung des Borelschen Satzes, demzufolge das absolute Maximum des reellen und das absolute Maximum des rein imaginären Teiles einer ganzen transzendenten Funktion dieselbe Ordnung des Wachstums besitzt wie das Maximum ihres absoluten Betrages.
MSC:
30G30 Other generalizations of analytic functions (including abstract-valued functions)
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References:
[1] Voir, p. ex.:Sur les zéros ďune classe de fonctions transcendantes (thèse de doctorat) [Annales de la Faculté des Sciences de ľUniversité de Toulouse, IIe série, tome VIII (1906), pp. 1–72];Sur les fonctions ayant un nombre fini de branches [Journal de Mathématiques pures et appliquées, VIe série, tome II (1906), pp. 87–107];Sur la croissance des fonctions multiformes [Ibid., VIe série, tome III (1907), pp. 267–298].
[2] Voir; é.Borel,Leçons sur les fonctions entières (Paris, Gauthier-Villars, 1900), pp. 63–69.
[3] E. Landau,Über den Picard’sobenSatz [Vierteljahrsschrift der Naturforschenden Gesellschaft in Zürich, Bd. LI (1906), S. 252–318], S. 277.
[4] F. Schottky,Über den Picard’schenSatz und die BoREl’schenUngleichungen [Sitzungsberichte der Kgl. Preussischen Akademie der Wissenschaften (Berlin), Jahrgang 1904, pp. 1244–1263], pp. 1244–1246;Über zwei Beweise des allgemeinen PiCArd’schenSatzes [Ibid., Jahrgang 1907, pp. 823–840], pp. 825–826. –Voir aussi: O. Blumenthal,Principes de la théorie des fonctions entières ďordre infini (Paris, Gauthier-Villars, 1910), pp. 92–94.
[5] Voir: é. Borel,Sur les zéros des fonctions entières [Acta Mathematica, tome XX (1897), PP–357–396] et loc. cit.2), pp. 63–69.
[6] J’entends par là un ensemble de points du plan z contenant des points de rayon r plus grand que toute quantité donnée ďavance.
[7] Ce sera alors Qu qui sera ďordre de croissance [M(r)]v.
[8] C’est-à-dire pour toute valeur de r suffisamment grande il y a une, au moins, des quantités qi qui satisfait à ľinégalité (10).
[9] Au point de vue asymptotique.
[10] Ou bien de la partie imaginaire.
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