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Théorie des fonctions métasphériques. Cours professé à l’université de Copenhague. (French) JFM 42.0484.01

Paris: Gauthier-Villars. VII + 212 S. \(4^\circ\) (1911).
Nielsen gibt hier eine zusammenhängende Darstellung seiner Studien über verallgemeinerte Kugelfunktionen, über die F. d. M. 37, 471, 1906; 38, 484, 485, 1907; 39, 529, 1908; 40, 503, 504, 1909, berichtet ist. Dabei werden den früher abgeleiteten Resultaten mannigfache neue hinzugefügt.
Vorausgeschickt wird (Teil 1, Kap. I-IV) eine Reihe von Hülfssätzen und Formeln über die Gammafunktion, die hypergeometrische Reihe, ferner einige Sätze der allgemeinen Funktionentheorie und solche über Reihentransformation. Dann folgen (Teil II, Kap. V) Definition und Haupteigenschaften der metasphärischen Funktionen, wesentlich in Anlehnung an die zitierte Arbeit aus dem Jahre 1906. In Kap. VI werden neue Reihen für die Funktionen \(P^{\nu, \varrho}(x), Q^{\nu, \varrho}(x)\) entwickelt und deren Konvergenzbereich bestimmt. Die ersten Reihen, die auf dem Rande und außerhalb einer gewissen Ellipse konvergieren, sind hypergeometrische Reihen, deren viertes Element \(1/\xi^2\) ist, wo \(\xi=x \pm \sqrt{x^2-1}\) und \(|\xi|>1\). Daraus folgen asymptotische Darstellungen von \(P^{\nu, \varrho}, Q^{\nu, \varrho}\). Die zweite Art von Reihen sind hypergeometrische Reihen mit \(\frac{1}{1-x^2}\), resp. \(1-x^2\) als viertem Element; die ersten derselben konvergieren außerhalb einer Lemniskate, die zweiten in der einen inneren Hälfte der Lemniskate. Zwei weitere Darstellungen konvergieren in einer Halbebene, resp. im Innern oder Äußeren einer Hyperbel. Am Schlußdieses Kapitels, dessen Ergebnisse hier zum ersten Male veröffentlicht sind, werden die Umlaufsrelationen für die singulären Punkte aufgestellt. Kap. VII ist den ultrasphärischen Funktionen gewidmet, für die \(\varrho\) gleich einer ganzen Zahl \(n\) ist (vgl. die Arbeit aus 1906); Kap. VIII enthält Anwendungen der Fundamentalformeln, insbesondere die Entwicklung von \(1:(y-x)\) nach metasphärischen Funktionen und verschiedene Rekursionsformeln; und in Kap. IX wird die Differentialgleichung 4. Ordnung abgeleitet, der das Produkt zweier metasphärischen Funktionen genügt.
Teil III betrifft Reihen, die nach metasphärischen, resp. ultrasphärischen Funktionen fortschreiten. In Kap. X wird gezeigt, daßjede analytische Funktion \(f(x)\) sich innerhalb einer gewissen Ellipse in eine Reihe der Form \[ f(x)=\varGamma(\nu) \sum_{n=0}^\infty(\nu+n)A_n P^{\nu, n}(x) \] (verallgemeinerte C. Neumannsche Reihe) entwickeln läßt, und diese allgemeine Reihe wird auf eine größere Zahl spezieller Fälle angewandt, u. a. auf die Entwicklung von \(P^{\varrho, n}(\alpha x)\) in eine endliche, nach den \(P^{\nu, n- 2s}(x)\) fortschreitende Reihe. Analog läßt sich (Kap. XI) eine analytische Funktion \(f(x)\) außerhalb einer Ellipse in eine Reihe der Form: \[ f(x)=\frac{2^{\varrho+1} x^{\varrho+2\nu}}{\sqrt{\pi}} \sum_{n=0}^\infty (\nu+\varrho+n)B_n Q^{\nu, \varrho+n}(x) \] entwickeln, und die Koeffizienten \(B_n\) ergeben sich leicht aus den Koeffizienten \(b_n\), die bei der Entwicklung von \(f(x)\) nach fallenden Potenzen von \(x\) auftreten. Diese Entwicklung wird besonders auf das Produkt zweier metasphärischen Funktionen angewandt. Weiter werden (Kap. XII) für die Entwicklung einer Funktion nach Produkten von verallgemeinerten Kugelfunktionen die folgenden bemerkenswerten neuen Sätze gefunden: Jede analytische Funktion läßt sich innerhalb einer Ellipse in eine Reihe der Form: \[ f(x)=\sum_{n=0}^\infty \{B_n[P^{\nu, n}(x)]^2+C_n P^{\nu, n}(x)P^{\nu, n+1}(x)\} \] entwickeln. Außerhalb der Ellipse gilt eine ähnliche Entwicklung, bei der nur die Funktion \(Q^{\nu, \varrho+n}\) an Stelle der Funktion \(P^{\nu, n}\) tritt, und wobei die Summe rechts noch mit dem Faktor \(x^{2\varrho+4\nu}\) zu multiplizieren ist. Diesen allgemeinen Sätzen werden die speziellen Reihen vorangeschickt für \(f(x)=Q^{\nu, 2\varrho+2\nu}(x)\) und \(f(x) = P^{\nu, 2\varrho}(x)\); in beiden Fällen ist \(C_n=0\). Den Reihen des Kap. X werden in Kap. XIII noch allgemeinere an die Seite gestellt, in denen allgemeine hypergeometrische Reihen an Stelle der \(P^{\nu, n}(x)\) treten, und sodann werden (Kap. XIV) die Additionstheoreme der verallgemeinerten Kugelfunktionen entwickelt.
Im vierten Teile endlich werden zunächst (Kap. XV) für die verallgemeinerten Kugelfunktionen verschiedene Integraldarstellungen abgeleitet, Analoga der Integrale von Laplace, Jacobi, Heine, Dirichlet. Ferner werden (Kap. XVI) die Koeffizienten der allgemeinen Reihe des Kap. X mittels bestimmter Integrale dargestellt. Durch Anwendung auf spezielle Reihen werden verschiedene Formeln gewonnen, die nicht ohne Interesse sind. Zum Schlußwerden die Funktionen \(Q^{\nu, \varrho}(x)\) und \(P^{\nu, n}(\cos \vartheta)\) durch Integrale dargestellt, die Zylinderfunktionen enthalten; die betreffenden Formeln ergeben sich durch Spezialisierung einer Formel von Sonine [Math. Ann. 16; F. d. M. 12, 400, 1880], mittels deren eine hypergeometrische Reihe durch ein derartiges Integral ausgedrückt wird.